Do a,b > 0 => \(1-\frac{1}{a}\) và \(1-\frac{1}{b}\)luôn dương

Áp dụng bđt : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

P = \(\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\le\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}\right)^2=\frac{1}{4}\left[2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (a,b > 0) (1)

CM bđt đúng: Từ (1) <=> \(\left(\frac{x+y}{xy}\right)\left(x+y\right)\ge4\)

<=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Khi đó: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=\frac{4}{4}=1\)

=> \(2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le2-1=1\) => \(\frac{1}{4}\left[2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2\le\frac{1}{4}.1^2=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2

Vậy MaxP = 1/4 khi a =b = 2

3( x - 5 )( x - 2 )( x + 2 ) + 4 = 7 + 3x³ - 15x²

<=> ( 3x - 15 )( x² - 4 ) + 4 - 7 = 3x³ - 15x²

<=> 3x³ - 12x - 15x² + 60 - 3 = 3x³ - 15x²

<=> 57 = 3x³ - 15x² - 3x³ + 12x + 15x²

<=> 57 = 12x

<=> x = 57/12 = 19/4

Tìm x biết:

3(x - 5)(x - 2)(x + 2) + 4 = 7 + 3x³ - 15x²

\(3\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)+4=3x^3-15x^2-12x=64\)

\(7+3^3+\left(-15\right)x^2=3x^3-15x^2+7\)

\(3x^3-15x^2-12x+64=3x^3-15x^2+7\)

\(\Rightarrow\frac{19}{4}\)

ĐK : x khác 7 ; 1 

\(\frac{4x}{x^2-8x+7}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x}{\left(x-7\right)\left(x-1\right)}+\frac{3x}{4x^2-10x+7}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{4x\left(4x^2-10x+7\right)}{\left(x-7\right)\left(x-1\right)\left(4x^2-10x+7\right)}+\frac{3x\left(x-7\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-7\right)\left(4x^2-10x+7\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow16x^3-40x^2+28x+3x^3-24x^2+21x=1\)

\(\Leftrightarrow19x^3-64x^2+49x-1=0\) vô nghiệm 

Đề ko sai ak :)? từ cái chỗ 4x^2 - 10x + 7 ý 

Từ a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc = 0

<=> (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b) - 3abc = 0

<=> (a + b + c)(a² + 2ab + b² - ac - bc + c²) - 3ab(a + b + c) = 0

<=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

<=> a = b = c

=> tam giác đó là tam giác đều

b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

CM đúng (tự cm tđ)

Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3

a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0

Ta có : a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

<=> ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - ac - bc ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0 

Xét TH còn lại ta có :

a² + b² + c² - ab - ac - bc = 0

<=> 2(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 2.0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ac + a² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0 (*)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )

x^2(x+1)+x+1=0

(x^2+1)(x+1)=0

x=-1

Theo đề ta có:

\(x^2\left(x+1\right)+x+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x^2+1=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x^2=-1\left(loai\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=-1\)

Theo đề ta có:

\(\frac{x^4}{2}-2x^2\)

\(=\frac{x^4-4x^2}{2}\)

\(=\frac{x^2\left(x^2-4\right)}{2}\)

\(=\frac{x^2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{2}\)

Mk k ghi đề nên lm luôn nhé:

a) A = (x³ - 1) + (x³ - 3x².2 + 3.x.2² - 2³) - 2(x³ + 1) + 6(x²  - 2x + 1)

        = x³ - 1 + x³ - 6x² + 12x - 8 - 2x³ - 2 + 6x² - 12x + 6

        = 5

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến x

b) B = (27x³ - x³) - (x³ + 3.x².2 + 3.x.2² + 2³) + 2(x³ + 8) + 6x² + 12x

        = 27x³ - x³ - x³ - 6x² - 12x - 8 + 2x³ + 16 + 6x² + 12x

        = 27x³ + 8 

*câu b k biết đề có gì sai sót k nên bn tự sửa lại nhé*

*câu b k chứng minh đc*

A = ( x - 1 )( x² + x + 1 ) + ( x - 2 )³ - 2( x + 1 )( x² - x + 1 ) + 6( x - 1 )²

= x³ - 1 + x³ - 6x² + 12x - 8 - 2( x³ + 1 ) + 6( x² - 2x + 1 )

= 2x³ - 6x² + 12x - 9 - 2x³ - 2 + 6x² - 12x + 6

= -5 không phụ thuộc vào biến

=> đpcm

B = ( 3 - x )( x² + 3x + 9 ) - ( x + 2 )³ + 2( x + 2 )( 4 - 2x + x² ) + 6x( x + 2 ) < đã sửa một vài chỗ >

= -( x - 3 )( x² + 3x + 9 ) - ( x³ + 6x² + 12x + 8 ) + 2( x³ + 8 ) + 6x² + 12x

= -( x³ - 27 ) - x³ - 6x² - 12x - 8 + 2x³ + 16 + 6x² + 12x

= 27 - x³ + x³ - 8 + 16

= 35 không phụ thuộc vào biến

=> đpcm