Giả sử AB là 1 cạnh của hình tám cạnh đều, gọi AB=a.

Vẽ AK là đường co của tam giác OAB

Ta có: \(\widehat{AOB}=\frac{360^o}{8}=45^o\Rightarrow OK=AK=\sin45^o=\frac{OA\sqrt{2}}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

Nên KB=OB-OK=\(\frac{R\sqrt{2}}{2}-R=R\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)\)

Xét tam giác KAB vuông tại K, theo định lý Pytago ta có:

\(AB^2=AK^2+KB^2=\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left[R\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)\right]^2\)

\(AB^2=R^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\sqrt{2}+1\right)\)

\(\Rightarrow AB^2=\left(2-\sqrt{2}\right)R^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{2-\sqrt{2}}R\)

a) ( d) : y = 3mx -1 - m 

<=> y + 1 =( 3x -1 ) 

Ta có : \(\forall m\inℝ\) ta luôn có nghiệm : \(\hept{\begin{cases}y+1=0\\3x-1=0\end{cases}}\)

                                               \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy ( d ) luôn đi qua điểm cố định ( 1 / 3 ; -1 ) 

b) Phương trình hoành độ g điểm giữa ( P ) và ( d ) 

\(\frac{1}{2}x^2=3mx-1-m\left(1\right)\)

<=> x² -6mx + 2m + 2 =0 ( ko chắc lắm ) 

\(\Delta'=\left(3m\right)^2-2m-2=9m^2-2m-2\)

Để (P) tiếp xúc với (d) =>PT ( 1 ) có nghiệm kép => \(\Delta'=0\Leftrightarrow9m^2-2m-2=0\)

                                                                                 \(\Delta'=19\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m_1=\frac{1-\sqrt{19}}{9}\\m_2=\frac{1+\sqrt{19}}{9}\end{cases}}\)

*Bài này có nhiều cách làm, mỗi cách có 1 mình khác nhau. OLM đang lỗi nên không vẽ được hình. Bạn thông cảm*

• Giả sử E nằm giữa A và F
• Cách 1: Kéo dài BE cắt đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)AEC tại I

Ta có: \(\widehat{EIC}=\widehat{EAC}\) nên \(\Delta\)ABF~\(\Delta\)IBC

\(\Rightarrow\frac{BF}{BA}=\frac{BC}{BI}\) hay \(\frac{BF}{BC}=\frac{BA}{BI}\)

Lại có \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\) nên \(\Delta\)ABI~\(\Delta\)FBC

Vậy \(\widehat{ACE}=\widehat{EIA}=\widehat{ACE}\)

• Cách 2: Gọi I, H lần lượt là điểm đối xứng của E qua AB và AC. K là điểm đối xứng F qua BC

Ta có \(\Delta AIH\) cân, AD là đường phân giác nên AD là đường trung trực đoạn IH

=> FI=FH (1)

\(\Delta FBI=\Delta KBE\left(cgc\right)\) nên FI=KE(2)

Từ (1) (2) => KE=FH

\(\Delta CEK=\Delta CHF\left(ccc\right)\)

=> \(\widehat{HCF}=\widehat{ECK}\) hay \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)

• Cách 3: Đặt \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}=\alpha;\widehat{ACE}=\beta;\widehat{BCF}=\gamma\)

Ta có: \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CE\cdot\sin\beta}{\frac{1}{2}\cdot DC\cdot CF\cdot\sin\gamma}\left(3\right)\)

Mà \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{S_{ABE}}{S_{DBF}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BE\cdot\sin\alpha}{\frac{1}{2}BD\cdot BF\cdot\sin\alpha}\left(4\right)\)

Từ (3) (4) => \(\frac{AC}{CD}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{AB}{BD}\cdot\frac{BE}{BF}\)

Mặt khác \(\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD};\frac{CE}{CF}=\frac{BE}{BF}\left(E;F\in AD\right)\)

Vậy \(\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=1\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\left(\beta+\gamma=180^o\right)\)

• Trường hợp F nằm giữa A và E, có \(\widehat{ABF}=\widehat{CBE}\), cũng làm tương tự