a) Đặt f(x) = x⁴ + ax² + b

          g(x) = x² - x + 1

          h(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x)

Ta có : f(x) bậc 4 ; g(x) bậc 2 => h(x) bậc 2

=> h(x) có dạng x² + cx + d

f(x) chia hết cho g(x) <=> f(x) = g(x).h(x)

<=> x⁴ + ax² + b = ( x² - x + 1 )( x² + cx + d )

<=> x⁴ + ax² + b = x⁴ + cx³ + dx² - x³ - cx² - dx + x² + cx + d

<=> x⁴ + ax² + b = x⁴ + ( c - 1 )x³ + ( d - c + 1 )x² + ( c - d )x + d

Đồng nhất hệ số ta có :

c - 1 = 0 ; a = d - c + 1 ; c - d = 0 ; b = d

=> a = b = c = d = 1

Vậy a = b = 1

b) Đặt f(x) = ax³ + bx² + 5x - 50

           g(x) = x² + 3x - 10 = x² - 2x + 5x - 10 = x( x - 2 ) + 5( x - 2 ) = ( x - 2 )( x + 5 )

f(x) chia hết cho g(x) <=> ax³ + bx² + 5x - 50 chia hết cho ( x - 2 )( x + 5 )

=> \(\hept{\begin{cases}\left(ax^3+bx^2+5x-50\right)⋮\left(x-2\right)\left[1\right]\\\left(ax^3+bx^2+5x-50\right)⋮\left(x+5\right)\left[2\right]\end{cases}}\)

Áp dụng định lí Bézout vào [ 1 ] ta có :

f(x) chia hết cho ( x - 2 ) <=> f(2) = 0

=> 8a + 4b + 10 - 50 = 0

=> 8a + 4b = 40

=> 2a + b = 10 (1)

Áp dụng định lí Bézout vào [ 2 ] ta có :

f(x) chia hết cho ( x + 5 ) <=> f(-5) = 0

=> -125a + 25b - 25 - 50 = 0

=> -125a + 25b = 75

=> -5a + b = 3 (2)

Từ (1) và (2) => \(\hept{\begin{cases}2a+b=10\\-5a+b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=8\end{cases}}\) 

Vậy ...

Câu 10 : 

a, \(5ax-10ay=5a\left(x-2y\right)\)

b, \(x^2-xy+2x-2y=x\left(x-y\right)+2\left(x-y\right)=\left(x+2\right)\left(x-y\right)\)

c, \(5x\left(3-2x\right)-7\left(2x-3\right)=5x\left(3-2x\right)+7\left(3-2x\right)=\left(5x+7\right)\left(3-2x\right)\)

d, \(x^2+5x+6=x^2+3x+2x+6=\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

Câu 13:

Ta có: \(x^2y+xy^2+x+y=96\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)=96\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(xy+1\right)=96\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(11+1\right)=96\)

\(\Rightarrow x+y=8\)

Ta có:

\(q=x^2+y^2=\left(x^2+2xy+y^2\right)-2xy=\left(x+y\right)^2-2xy\)

\(=8^2-2.11=64-22=42\)

x³ + y³ - 3xy

= ( x + y )( x² - xy + y² ) - 3xy

= -1( x² - xy + y² ) - 3xy

= -x² + xy - y² - 3xy

= -x² - 2xy - y²

= -( x² + 2xy + y² )

= -( x + y )²

= -(-1)² = -1

4x² - 9 - 2(2x + 3) = 0

=> 4x² - 4x - 15 = 0

=> 4x² - 4x + 1 - 16 = 0

=> (2x - 1)² - 4² = 0

=> (2x - 1 - 4)(2x - 1 + 4) = 0

=> (2x - 5)(2x + 3) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}2x-5=0\\2x+3=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\x=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right\}\)là giá trị cần tìm

4x²-9-2(2x+3) =0

(2x)² -3² -2(2x+3) = 0

(2x + 3)(2x - 3) -2(2x+3) = 0

(2x + 3)(2x - 3 - 2) =0

\(\orbr{\begin{cases}2x+3=0\\2x-3-2=0\end{cases}}\)\(\orbr{\begin{cases}2x=-3\\2x=5\end{cases}}\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{-3}{2}\\x=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

\(\frac{3}{x^3-1}=\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)( ĐKXĐ : x ≠ 1 )

\(\frac{2x}{x^2+x+1}\)( ĐKXĐ : x ∈ R )

\(\frac{x}{x-1}\)( ĐKXĐ : x ≠ 1 )

MTC : ( x - 1 )( x² + x + 1 )

=> \(\frac{3}{x^3-1}=\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

=> \(\frac{2x}{x^2+x+1}=\frac{2x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{2x^2-2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

=> \(\frac{x}{x-1}=\frac{x\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x^3+x^2+x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)