\(P=\left(x+5\right)\left(x+7\right)\left(x+9\right)\left(x+11\right)+16\)

\(P=\left[\left(x+5\right)\left(x+11\right)\right]\left[\left(x+7\right)\left(x+9\right)\right]+16\)

\(P=\left(x^2+16x+55\right)\left(x^2+16x+63\right)+16\)

Đặt \(x^2+16x+59=a\), do đó:

\(P=\left(a-4\right)\left(a+4\right)+16\)

\(P=a^2-16+16=a^2\)

\(P=\left(x^2+16+59\right)^2\)

Do đó P là một số chính phương.

Ta có: 

\(P=\left(x+5\right)\left(x+7\right)\left(x+9\right)\left(x+11\right)+16\)

\(P=\left[\left(x+5\right)\left(x+11\right)\right]\left[\left(x+7\right)\left(x+9\right)\right]+16\)

\(P=\left(x^2+16x+55\right)\left(x^2+16x+63\right)+16\)

\(P=\left[\left(x^2+16x+59\right)-4\right]\left[\left(x^2+16x+59\right)+4\right]+16\)

\(P=\left(x^2+16x+59\right)^2-4^2+16\)

\(P=\left(x^2+16x+59\right)^2\)

Vì x nguyên => P là số chính phương

=> đpcm

Đặt ab|a−b|ab|a−b| =c

⇒ab=c|a-b|

c là số nguyên tố⇒⎡⎣a⋮cb⋮c[a⋮cb⋮c 

c là số nguyên tố⇒c∈{2,3,5,7}

 TH1:c=2

⇒ab=2|a-b|

+)a>b⇒b=b=2aa+22aa+2=2-4a+24a+2 ∈N

⇒a=2

⇒b=1

+)a<b⇒a=a=2bb+22bb+2=2-4b+24b+2 ∈N

⇒b=2

⇒a=1

CMT²⇒......

CẬU CHÉP Ở ĐAU THẾ VGH

Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k^2 và (k+1)^2
Ta có:
k^2+(k+1)^2+k^2.(k+1)^2
=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2
=k^4+2k^3+3k^2+2k+1
=(k^2+k+1)^2
=[k(k+1)+1]^2 là số chính phương lẻ.

Vì là hai số chính phương liên tiếp 

nên ta đặt hai số đó là k² và (k+1)² ( k ∈ Z )

Theo đề bài ta có : k² + ( k + 1 )² + k²(k+1)²

= k² + k² + 2k + 1 + ( k² + k )²

= k⁴ + 2k³ + 3k² + 2k + 1

= ( k⁴ + k³ + k² ) + ( k³ + k² + k ) + ( k² + k + 1 )

= k²( k² + k + 1 ) + k( k² + k + 1 ) + ( k² + k + 1 )

= ( k² + k + 1 )² = [ k( k + 1 ) + 1 ]²

Vì k ; k+1 là hai số nguyên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2 

=> k( k + 1 ) chẵn => k( k + 1 ) + 1 lẻ

=> [ k( k + 1 ) + 1 ]² là một số chính phương lẻ (đpcm)

=2016x2016+2x2017-2017x2017

=2016x2016-(2017-2)2017

=2016x2016-2015x2017

=1

2016² + 4034 - 2017²

= ( 2016² - 2017² ) + 4034

= ( 2016 - 2017 )( 2016 + 2017 ) + 4034

= -1.4033 + 4034 = 1

We have: \(\frac{2x}{x^2+1}=\frac{-x^2+2x-1+x^2+1}{x^2+1}\)

\(=\frac{-x^2+2x-1}{x^2+1}+1=\frac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}+1\le1\)

"='' \(\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

The maximum value of \(\frac{2x}{x^2+1}=1\) when \(x=1\)

ngu tiếng Anh :))

Đặt \(A=\frac{2x}{x^2+1}\)

Với x ≤ 0 => A ≤ 0(1)

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)

=> \(\frac{1}{x^2+1}\le\frac{1}{2x}\)=> \(\frac{2x}{x^2+1}\le1\)hay A ≤ 1(2)

Từ (1) và (2) => A ≤ 1 hay MaxA = 1

Đẳng thức xảy ra <=> x = 1

Vậy ... :))

P = \(\frac{2x}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2+2x-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le1\)

Dầu "=" xảy ra <=> x - 1 = 0 <=> x = 1

maxP = 1 <=> x = 1