Lời giải:

$2M=\frac{12n-6}{4n-6}=\frac{3(4n-6)+12}{4n-6}=3+\frac{12}{4n-6}$

$=3+\frac{6}{2n-3}$

Để $M$ lớn nhất thì $\frac{6}{2n-3}$ lớn nhất.

Điều này xảy ra khi $2n-3$ là số nguyên dương nhỏ nhất

$\Rightarrow 2n-3=1$

$\Rightarrow n=2$.

Lời giải:

$3xy+2x-5y=6$

$x(3y+2)-5y=6$

$3x(3y+2)-15y=18$

$3x(3y+2)-5(3y+2)=8$

$(3y+2)(3x-5)=8$

Đến đây lập bảng xét giá trị thôi bạn.

Lời giải:
a. 

$2n^2+n-6=n(2n+1)-6\vdots 2n+1$

$\Rightarrow 6\vdots 2n+1$

$\Rightarrow 2n+1$ là ước của $6$

Mà $2n+1$ lẻ nên $2n+1\in\left\{\pm 1; \pm 3\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0; -1; 1; -2\right\}$

b.

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$

Với $p=3k+1$ thì $p^2-1=(p-1)(p+1)=3k(3k+2)\vdots 3$

Với $p=3k+2$ thì $p^2-1=(p-1)(p+1)=(3k+1)(3k+3)=3(3k+1)(k+1)\vdots 3$

Suy ra $p^2-1$ luôn chia hết cho $3$ (*)

Mặt khác:

$p$ lẻ nên $p=2k+1$. Khi đó: $p^2-1=(p-1)(p+1)=2k(2k+2)$

$=4k(k+1)\vdots 8$ (**) do $k(k+1)\vdots 2$ (tích 2 số nguyên liên tiếp)

Từ (*) ; (**) suy ra $p^2-1\vdots (3.8)$ hay $p^2-1\vdots 24$.

Lời giải:
$4^x+4^{x+2}=1088$

$4^x+4^x.4^2=1088$

$4^x(1+4^2)=1088$

$4^x.17=1088$

$4^x=64=4^3$

$\Rightarrow x=3$

Lời giải:

$14.7^{2021}=35.7^{2021}-3.49^x$

$2.7^{2022}=5.7^{2022}-3.7^{2x}$

$3.7^{2x}=5.7^{2022}-2.7^{2022}=7^{2022}(5-2)=3.7^{2022}$

$\Rightarrow 7^{2x}=7^{2022}$

$\Rightarrow 2x=2022$

$\Rightarrow x=2022:2=1011$

Lời giải:

Xét $A=4^{2021}+4^{2020}+...+4^2+4+1$

$4A=4^{2022}+4^{2021}+...+4^3+4^2+4$
$\Rightarrow 4A-A=4^{2022}-1$

$\Rightarrow 3A=4^{2022}-1$

$\Rightarrow M=75A+25=25(4^{2022}-1)+25=25.4^{2022}=100.4^{2021}\vdots 100$

Ta có đpcm.

Lời giải:

$C=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+(993-994-995+996)+997$

$=0+0+....+0+997=997$