\(20\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2-5\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2+48\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0\left(ĐKXĐ:x\ne\pm1\right)\)

Đặt \(\frac{x-2}{x+1}=a,\frac{x+2}{x-1}=b\)thì \(ab=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{x^2-4}{x^2-1}\). Phương trình trở thành:

\(20a^2-5b^2+48ab=0\).

\(\Leftrightarrow\left(20a^2+50ab\right)-\left(2ab+5b^2\right)=0\).

\(\Leftrightarrow10a\left(2a+5b\right)-b\left(2a+5b\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(10a-b\right)\left(2a+5b\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}10a-b=0\\2a+5b=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}10a=b\left(1\right)\\2a=-5b\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét phương trình \(\left(1\right)\):

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{10\left(x-2\right)}{x+1}=\frac{x+2}{x-1}\).

\(\Leftrightarrow\frac{10\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\).

\(\Rightarrow10\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x+2\right)\left(x+1\right)\).

\(\Leftrightarrow10\left(x^2-3x+2\right)=x^2+3x+2\).

\(\Leftrightarrow10x^2-30x+20=x^2+3x+2\).

\(\Leftrightarrow10x^2-30x+20-x^2-3x-2=0\).

\(\Leftrightarrow9x^2-33x+18=0\).

\(\Leftrightarrow3\left(3x^2-11x+6\right)=0\).

\(\Leftrightarrow3x^2-11x+6=0\).

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-9x\right)-\left(2x-6\right)=0\).

\(\Leftrightarrow3x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)=0\).

\(\left(3x-2\right)\left(x-3\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-2=0\\x-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\x=3\end{cases}}\left(TMĐKXĐ\right)\).

Xét phương trình \(\left(2\right)\):

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{2\left(x-2\right)}{x+1}=\frac{-5\left(x+2\right)}{x-1}\).

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-5\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\).

\(\Rightarrow2\left(x-2\right)\left(x-1\right)=-5\left(x+2\right)\left(x+1\right)\).

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-3x+2\right)=-5\left(x^2+3x+2\right)\).

\(\Leftrightarrow2x^2-6x+4=-5x^2-15x-10\).

\(\Leftrightarrow2x^2-6x+4+5x^2+15x+10=0\).

\(\Leftrightarrow7x^2+9x+14=0\).

\(\Leftrightarrow7\left(x^2+\frac{9}{7}x+2\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2.x.\frac{9}{14}+\frac{81}{196}\right)+\frac{311}{196}=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{9}{14}\right)^2=\frac{-311}{196}\)(vô nghiệm).

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{\frac{2}{3};3\right\}\).

.

\(x^2-3x-10< 0\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x+2\right)< 0\)

\(th1\orbr{\begin{cases}x-5< 0\\x+2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< 5\\x>-2\end{cases}\Leftrightarrow-2< x< 5\left(tm\right)}\)

\(th1\orbr{\begin{cases}x-5>0\\x+2< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>5\\x< -2\end{cases}\Leftrightarrow5< x< -2\left(ktm\right)}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S=\left\{x/5< x< -2\right\}\)

x² - 3x - 10 < 0 <=> ( x + 2 )( x - 5 ) < 0

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}x+2>0\\x-5< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-2\\x< 5\end{cases}}\Leftrightarrow-2< x< 5\)

2. \(\hept{\begin{cases}x+2< 0\\x-5>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< -2\\x>5\end{cases}}\left(loai\right)\)

Vì x nguyên dương => x ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } thì x² - 3x - 10 < 0

link đây ạ https://hoc360.net/de-kiem-tra-giua-hoc-ki-2-mon-toan-8-truong-thcs-nguyen-cong-tru/ bằng kiến thức lớp 8 nha không được sin cos tan nha

20/x+2=1 1/x-2

\(\frac{20}{x+2}=\frac{1}{x-2}\)ĐK : \(x\ne\pm2\)

\(\Leftrightarrow\frac{20x-40}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(\Rightarrow20x-40=x+2\Leftrightarrow19x=42\Leftrightarrow x=\frac{42}{19}\)( tm ) 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 42 / 19 } 

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

Ta có :

1820 = 7 . 13 . 20 nên từ 7x² + 13y² = 1820 suy ra x ⋮⋮13 và y ⋮⋮7

đặt x  = 13k ; y = 7t ( k, t ∈∈N* ) , từ 7x² + 13y² = 1820 ta có :

7 . 13² . k² + 13 . 7² . t² = 1820

nên : 13k² + 7t² = 20

suy ra : k² = 1 ; t² = 1 vì k,t ∈∈N* nên k = t = 1 do đó x = 13 , y = 7 

Vậy ...

Ta có :

  1820 = 7 . 13 . 20 nên từ 7x² + 13y² = 1820 suy ra x ⋮ 13 và y ⋮ 7

Đặt x  = 13k ; y = 7t ( k, t ∈ N* ) , từ 7x² + 13y² = 1820 ta có :

  7 . 13² . k² + 13 . 7² . t² = 1820

nên : 13k² + 7t² = 20

suy ra : k² = 1 ; t² = 1 vì k,t ∈∈N* nên k = t = 1 do đó x = 13 , y = 7 

Vậy x = 13

       y = 7

Chúc bạn học tốt nhá

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2