Giải phương trình:
\(\sqrt{x^3+2x^2}+\sqrt{12x-2x^2}+2x^3+9x=0,5\left(x^4+2x^3+x^2+12x+24\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A có :
\(\hept{\begin{cases}AH^2=BH.CH\\AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}9^2=4\cdot CH\\AB^2=4.BC\\AC^2=CH.BC\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}CH=\frac{81}{4}\Rightarrow BC=\frac{81}{4}+4=\frac{97}{4}\\AB^2=4\cdot\frac{97}{4}\\AC^2=\frac{81}{4}\cdot\frac{97}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=\sqrt{97}\left(cm\right)\\AC=\frac{9\sqrt{97}}{4}\left(cm\right)\end{cases}}\)
xét tam giác ABC vuông tại A(AH đường cao)
AH^2 = BH.HC(hệ thức lượng trong tam giác)
thay số: 9^2 = 4.HC
81 = 4.HC
HC= 20,25(cm)
mà HC+BH=BC
thay số: 20,25+4=BC
suy ra BC=24,25(cm)
xét tam giác BHA vuông tại H,ta có:
BA^2=BH^2+HA^2(định lí pytago)
thay số: BA^2=16+81
BA^2=97
BA=căn bậc 97(cm)
xét tam giác ABC vuông tại A
BC^2=BA^2+AC^2(định lí pytago)
thay số: 588,0625=13+AC^2
AC^2=575,0625
AC=23,9804608(cm)
hmu hmu sao nhìn số nó xấu zay :(
Ta có : \(S=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}\)
\(=\left(\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{10}{xy}\right)+\frac{1}{xy}\)
\(=\left(\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{20}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}=20.\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(20\cdot\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\ge20\cdot\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=20\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge20\cdot\frac{4}{2^2}=20\)
Mặt khác có : \(0< xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{2^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge1\)
Do đó : \(S\ge20+1=21\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Khi n=1, ta được \(\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{2.1+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}\) : đúng
giả sử mệnh đề đúng khi n=k\(\left(k\ge1\right)\), tức là \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n=k+1, tức là ta phải chứng minh BĐT sau:
\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\cdot\left(k-1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2k+1\right)}.\frac{\left(2k+1\right)^2}{4\left(k+1\right)^2}< \frac{1}{\left(2k+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2\left(2k+3\right)< 4\left(k+1\right)^2\left(2k+1\right)\Leftrightarrow0< 2k+1\): luôn đúng
=>mệnh đề đúng với n=k+1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với mọi n nguyên dương.
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x>0\\c+a=y>0\\a+b=z>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z-x}{2}\\b=\frac{z+x-y}{2}\\x=\frac{x+y-z}{2}\end{cases}}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\frac{9\left(y+z-x\right)}{2x}+\frac{25\left(z+x-y\right)}{2y}+\frac{64\left(x+y-z\right)}{2z}>30\)
Ta có: \(VP=\frac{9y}{2x}+\frac{9z}{2x}-\frac{9}{2}+\frac{25z}{2y}+\frac{25x}{2y}-\frac{9}{2}+\frac{32x}{z}+\frac{32y}{z}-32\)
\(=\left(\frac{9y}{2x}+\frac{25x}{2y}\right)+\left(\frac{9z}{2x}+\frac{32x}{z}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{32y}{z}\right)-41\)
\(\ge2\cdot\frac{15}{2}+2\cdot12+2\cdot20-41=38>30\)
\(\Rightarrow\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\)
Một liên đội có khoảng 200 đến 300 đội viên.Mỗi lần xếp hàng 3,hàng 5 ,hàng 7 thì vừa đủ. Tính số đội viên
Vẽ phân giác BD, ta có: \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{DA}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{DA+DC}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}\left(1\right)\)
Mặt khác \(\Delta ABD\)vuông tại A, ta có:
\(\tan\widehat{ABD}=\tan\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{DA}{AB}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) =>đpcm