Gọi 4 chữ số đó là a < b < c < d

Số bé nhất tạo từ 4 chữ số là: abcd

Số lớn nhất tạo từ 4 chữ số đó là: dcba

Theo bài ra ta có: abcd + dcba = 9889

=> 1000a + 100b + 10c +d + 1000d + 100c + 10b + a = 9889

=> 1001a + 110b + 110c + 1001d = 9889

=> 1001(a+d) + 110(b + c) = 9889

Số 110 (b+c) tận cùng là chữ số 0, số 1001(a+d) tận cùng là chữ số a+d. Vậy để tổng bên vế trái có tận cùng là số 9 (trong số 9889) thì a+d =9 hoặc a + d = 19.

Vì a < b < c <d < 9 => a < 6 => a+d <6 + 9 =15. Vậy a + d =9

=> 1001.9 + 110 (b+c) = 9889

=> 110 (b+c) = 9889 - 9009 = 880

=> b + c = 880 : 110 = 8

Vậy a + b + c + d = (a + d)  + (b + c) = 9 + 8 = 17

Các số lập được bới 4 chữ số a, b, c, d là:

abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb,

bacd, badc, bacd, badc, bdac, bdca.

cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba,

dabc, dacb, dbac, dbca, dcab,dcba

Tổng các số trên (theo hàng dọc) ta có:

6.1000.(a+b+c+d) + 6.100.(a+b+c+d) + 6.10.(a+b+c+d) + 6.(a+b+c+d)

= 6.(1000 + 100 + 10 + 1).(a+b+c+d)

= 6. 1111. 17 

Gọi 4 chữ số đó là a < b < c < d

Số bé nhất tạo từ 4 chữ số là: abcd

Số lớn nhất tạo từ 4 chữ số đó là: dcba

Theo bài ra ta có: abcd + dcba = 9889

=> 1000a + 100b + 10c +d + 1000d + 100c + 10b + a = 9889

=> 1001a + 110b + 110c + 1001d = 9889

=> 1001(a+d) + 110(b + c) = 9889

Số 110 (b+c) tận cùng là chữ số 0, số 1001(a+d) tận cùng là chữ số a+d. Vậy để tổng bên vế trái có tận cùng là số 9 (trong số 9889) thì a+d =9 hoặc a + d = 19.

Vì a < b < c <d < 9 => a < 6 => a+d <6 + 9 =15. Vậy a + d =9

=> 1001.9 + 110 (b+c) = 9889

=> 110 (b+c) = 9889 - 9009 = 880

=> b + c = 880 : 110 = 8

Vậy a + b + c + d = (a + d)  + (b + c) = 9 + 8 = 17

Các số lập được bới 4 chữ số a, b, c, d là:

abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb,

bacd, badc, bacd, badc, bdac, bdca.

cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba,

dabc, dacb, dbac, dbca, dcab,dcba

Tổng các số trên (theo hàng dọc) ta có:

6.1000.(a+b+c+d) + 6.100.(a+b+c+d) + 6.10.(a+b+c+d) + 6.(a+b+c+d)

= 6.(1000 + 100 + 10 + 1).(a+b+c+d)

= 6. 1111. 17 

Lời giải:

Tại $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$:

\(\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2^2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

\(\sqrt{1-2x}=\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2^2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)

\(A=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\\ =\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\ =\frac{4+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}+\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}\\ =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}+\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}\\ =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1\)

\(\Rightarrow\)rỗ cam đó từ 200 -> 250 quả

đúng kg?

Gọi số cam trong rổ là x

\(\Rightarrow x\div8\left(dư7\right)\Rightarrow x+1\)chia hết cho \(8\)

\(\Rightarrow x\div9\left(dư8\right)\Rightarrow x+1\)chia hết cho\(9\)

\(\Rightarrow x\div12\left(dư11\right)\Rightarrow x+1\)chia hết cho\(12\)

\(\Leftrightarrow x+1\)là \(BCNN\left(8;9;12\right)=72\)

\(\Rightarrow\)Tìm \(B\left(72\right)=\left\{0;72;144;216;288;...\right\}\)

Mà số quả cam trong khoảng từ \(200\rightarrow250\)quả

\(\Rightarrow x=216\)

\(\Leftrightarrow\left(216-1\right)\div8\left(dư7\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(216-1\right)\div9\left(dư8\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(216-1\right)\div12\left(dư11\right)\)

\(\Rightarrow x=215\)

Vậy \(x=215\)

Gọi số nhỏ nhất cần tìm là a (a∈N*)

Vì a chia 3 dư 1; chia 4 dư 3; chia 5 dư 1 nên 

a - 1 chia hết cho 3

a - 3 chia hết cho 4 ⇒ a - 3 + 4= a - 1 chia hết cho 4

a - 1 chia hết cho 5

⇒ a - 1 ∈ BC( 3; 4; 5)= { 0; 60; 120; 180;.......}

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a = 60.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 60

 Số đó là 3x+1=4y+3=5z+1 => 4y+2=3x=5z => 4y+2 chia hết cho 15.

Số chia hết cho 15 có số tận cùng là 0 hoặc 5 nên 4y có số tận cùng là 3 hoặc 8.

Số 4y chia hết cho 4 nên phải là số chẵn, do đó nó có tận cùng là 8. 
Lần lượt thử các số chia hết cho 4:

8 + 2 = 10 không chia hết cho 15; 28+2=30 chia hết. 
          Vì vậy số đó là 31.

Ta có 2 cách chứng minh là đường trung bình và tự chứng minh:

C1: Đường trung bình

Ta có MN là đường trung bình của \(\Delta\)ABC vì MN nối 2 trung điểm của \(\Delta\)

=> MN // BC và MN = \(\frac{BC}{2}\)

=> ĐPCM

C2: Tự chứng minh

Trên tia đối tia NM lấy I sao cho IN = MN

• Xét 2 \(\Delta\)AMN và \(\Delta\)CIN có:
• AN = NC (g.t)
• Góc ANM = góc CNI (2 góc đối đỉnh)
• NM = NI (g.t)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)AMN = \(\Delta\)CIN (c.g.c)

\(\Rightarrow\)AM = CI (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\)Góc A = góc C (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\)AM // BC

\(\Rightarrow\)MB // CI \(\Rightarrow\)MBNI là hình thang

Vì AM = CI (cmt) 

\(\Rightarrow\)MI = BC và MI // BC 

\(\Rightarrow\)MN // BC

• Vì N là trung điểm của MI (MN = NI)

\(\Rightarrow\)MN = \(\frac{1}{2}\)MI

mà MI = BC (cmt)

\(\Rightarrow\)MN = \(\frac{1}{2}\)BC

Tam giác ABC có: 
M là trung điểm của AB( theo giả thiết) 
N là trung điểm của AC( theo giả thiết) 
=>MN là đường trung bình của tam giác ABC 
=> MN=1/2 BC 
Chứng minh định lý: 
Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho N là trung điểm của MD 
Xét tam giác ANM và tam giác CND 
Ta có: 
AN=NC( theo giả thiết) 
Góc ANM=gócCND( hai góc đối đỉnh) 
NM=ND(cách vẽ) 
Do đó: 
Tam giác ANM = tam giác CND( c.g.c) 
=> AM=CD( hai cạnh tương ứng) 
Và góc A= góc MCD(hai góc tương ứng) 
=> AM//CD 
=> MB//CD 
=> MBCD là hình thang 
Lại có: 
AM=CD 
=> MD=BC và MD//BC 
=> MN//BC 
Mà N là trung điểm của MD(cách vẽ) 
=> MN=1/2 MD 
=>MN=1/2 BC

Số đó bớt đi 8 thì được số chia hết cho 7. Vì 8 chia 7 dư 1 => Số đó bớt đi 1 thì chia hêt cho 7.

Tương tự, số đó bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 8.

Số đó bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 9.

Vậy số đó bớt đi 1 thì được số chia hết cho cả 3 số 7, 8, 9.

BCNN(7,8,9) = 7.8.9 = 504

=> Số đó là 504 + 1 = 505

Số tiếp theo là: 504.2 + 1 = 1009 có 4 chữ số, không thỏa mãn.

ĐS: 505

Số đó bớt đi 8 thì được số chia hết cho 7.

Vì 8 chia 7 dư 1 => Số đó bớt đi 1 thì chia hết cho 7.

Như thế , số đó bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 8.

Số đó bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 9.

Vậy số đó bớt đi 1 thì được số chia hết cho cả 3 số 7, 8, 9.

BCNN(7,8,9) = 7.8.9 = 504

=> Số đó là 504 + 1 = 505

Số tiếp theo là: 504.2 + 1 = 1009 có 4 chữ số, không thỏa mãn.

ĐS: 505