Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0 . Tính tổng tất cả các số có 4 số khác nhau lập từ 4 chữ số đó , biết tổng của số lớn nhất và số bé nhất trong các số lập được bằng 9889 .
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Tại $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$:
\(\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2^2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
\(\sqrt{1-2x}=\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2^2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)
\(A=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\\ =\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\ =\frac{4+2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}+\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}\\ =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}+\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}\\ =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi số cam trong rổ là x
\(\Rightarrow x\div8\left(dư7\right)\Rightarrow x+1\)chia hết cho \(8\)
\(\Rightarrow x\div9\left(dư8\right)\Rightarrow x+1\)chia hết cho\(9\)
\(\Rightarrow x\div12\left(dư11\right)\Rightarrow x+1\)chia hết cho\(12\)
\(\Leftrightarrow x+1\)là \(BCNN\left(8;9;12\right)=72\)
\(\Rightarrow\)Tìm \(B\left(72\right)=\left\{0;72;144;216;288;...\right\}\)
Mà số quả cam trong khoảng từ \(200\rightarrow250\)quả
\(\Rightarrow x=216\)
\(\Leftrightarrow\left(216-1\right)\div8\left(dư7\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(216-1\right)\div9\left(dư8\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(216-1\right)\div12\left(dư11\right)\)
\(\Rightarrow x=215\)
Vậy \(x=215\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi số nhỏ nhất cần tìm là a (a∈N*)
Vì a chia 3 dư 1; chia 4 dư 3; chia 5 dư 1 nên
a - 1 chia hết cho 3
a - 3 chia hết cho 4 ⇒ a - 3 + 4= a - 1 chia hết cho 4
a - 1 chia hết cho 5
⇒ a - 1 ∈ BC( 3; 4; 5)= { 0; 60; 120; 180;.......}
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a = 60.
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 60
Số đó là 3x+1=4y+3=5z+1 => 4y+2=3x=5z => 4y+2 chia hết cho 15.
Số chia hết cho 15 có số tận cùng là 0 hoặc 5 nên 4y có số tận cùng là 3 hoặc 8.
Số 4y chia hết cho 4 nên phải là số chẵn, do đó nó có tận cùng là 8.
Lần lượt thử các số chia hết cho 4:
8 + 2 = 10 không chia hết cho 15; 28+2=30 chia hết.
Vì vậy số đó là 31.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có 2 cách chứng minh là đường trung bình và tự chứng minh:
C1: Đường trung bình
Ta có MN là đường trung bình của \(\Delta\)ABC vì MN nối 2 trung điểm của \(\Delta\)
=> MN // BC và MN = \(\frac{BC}{2}\)
=> ĐPCM
C2: Tự chứng minh
Trên tia đối tia NM lấy I sao cho IN = MN
- Xét 2 \(\Delta\)AMN và \(\Delta\)CIN có:
- AN = NC (g.t)
- Góc ANM = góc CNI (2 góc đối đỉnh)
- NM = NI (g.t)
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)AMN = \(\Delta\)CIN (c.g.c)
\(\Rightarrow\)AM = CI (2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\)Góc A = góc C (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow\)AM // BC
\(\Rightarrow\)MB // CI \(\Rightarrow\)MBNI là hình thang
Vì AM = CI (cmt)
\(\Rightarrow\)MI = BC và MI // BC
\(\Rightarrow\)MN // BC
- Vì N là trung điểm của MI (MN = NI)
\(\Rightarrow\)MN = \(\frac{1}{2}\)MI
mà MI = BC (cmt)
\(\Rightarrow\)MN = \(\frac{1}{2}\)BC
Tam giác ABC có:
M là trung điểm của AB( theo giả thiết)
N là trung điểm của AC( theo giả thiết)
=>MN là đường trung bình của tam giác ABC
=> MN=1/2 BC
Chứng minh định lý:
Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho N là trung điểm của MD
Xét tam giác ANM và tam giác CND
Ta có:
AN=NC( theo giả thiết)
Góc ANM=gócCND( hai góc đối đỉnh)
NM=ND(cách vẽ)
Do đó:
Tam giác ANM = tam giác CND( c.g.c)
=> AM=CD( hai cạnh tương ứng)
Và góc A= góc MCD(hai góc tương ứng)
=> AM//CD
=> MB//CD
=> MBCD là hình thang
Lại có:
AM=CD
=> MD=BC và MD//BC
=> MN//BC
Mà N là trung điểm của MD(cách vẽ)
=> MN=1/2 MD
=>MN=1/2 BC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Số đó bớt đi 8 thì được số chia hết cho 7. Vì 8 chia 7 dư 1 => Số đó bớt đi 1 thì chia hêt cho 7.
Tương tự, số đó bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 8.
Số đó bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 9.
Vậy số đó bớt đi 1 thì được số chia hết cho cả 3 số 7, 8, 9.
BCNN(7,8,9) = 7.8.9 = 504
=> Số đó là 504 + 1 = 505
Số tiếp theo là: 504.2 + 1 = 1009 có 4 chữ số, không thỏa mãn.
ĐS: 505
Số đó bớt đi 8 thì được số chia hết cho 7.
Vì 8 chia 7 dư 1 => Số đó bớt đi 1 thì chia hết cho 7.
Như thế , số đó bớt đi 9 thì được số chia hết cho 8 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 8.
Số đó bớt đi 10 thì được số chia hết cho 9 => số đó bớt đi 1 thì cũng được số chia hết cho 9.
Vậy số đó bớt đi 1 thì được số chia hết cho cả 3 số 7, 8, 9.
BCNN(7,8,9) = 7.8.9 = 504
=> Số đó là 504 + 1 = 505
Số tiếp theo là: 504.2 + 1 = 1009 có 4 chữ số, không thỏa mãn.
ĐS: 505
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi 4 chữ số đó là a < b < c < d
Số bé nhất tạo từ 4 chữ số là: abcd
Số lớn nhất tạo từ 4 chữ số đó là: dcba
Theo bài ra ta có: abcd + dcba = 9889
=> 1000a + 100b + 10c +d + 1000d + 100c + 10b + a = 9889
=> 1001a + 110b + 110c + 1001d = 9889
=> 1001(a+d) + 110(b + c) = 9889
Số 110 (b+c) tận cùng là chữ số 0, số 1001(a+d) tận cùng là chữ số a+d. Vậy để tổng bên vế trái có tận cùng là số 9 (trong số 9889) thì a+d =9 hoặc a + d = 19.
Vì a < b < c <d < 9 => a < 6 => a+d <6 + 9 =15. Vậy a + d =9
=> 1001.9 + 110 (b+c) = 9889
=> 110 (b+c) = 9889 - 9009 = 880
=> b + c = 880 : 110 = 8
Vậy a + b + c + d = (a + d) + (b + c) = 9 + 8 = 17
Các số lập được bới 4 chữ số a, b, c, d là:
abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb,
bacd, badc, bacd, badc, bdac, bdca.
cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba,
dabc, dacb, dbac, dbca, dcab,dcba
Tổng các số trên (theo hàng dọc) ta có:
6.1000.(a+b+c+d) + 6.100.(a+b+c+d) + 6.10.(a+b+c+d) + 6.(a+b+c+d)
= 6.(1000 + 100 + 10 + 1).(a+b+c+d)
= 6. 1111. 17
Gọi 4 chữ số đó là a < b < c < d
Số bé nhất tạo từ 4 chữ số là: abcd
Số lớn nhất tạo từ 4 chữ số đó là: dcba
Theo bài ra ta có: abcd + dcba = 9889
=> 1000a + 100b + 10c +d + 1000d + 100c + 10b + a = 9889
=> 1001a + 110b + 110c + 1001d = 9889
=> 1001(a+d) + 110(b + c) = 9889
Số 110 (b+c) tận cùng là chữ số 0, số 1001(a+d) tận cùng là chữ số a+d. Vậy để tổng bên vế trái có tận cùng là số 9 (trong số 9889) thì a+d =9 hoặc a + d = 19.
Vì a < b < c <d < 9 => a < 6 => a+d <6 + 9 =15. Vậy a + d =9
=> 1001.9 + 110 (b+c) = 9889
=> 110 (b+c) = 9889 - 9009 = 880
=> b + c = 880 : 110 = 8
Vậy a + b + c + d = (a + d) + (b + c) = 9 + 8 = 17
Các số lập được bới 4 chữ số a, b, c, d là:
abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb,
bacd, badc, bacd, badc, bdac, bdca.
cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba,
dabc, dacb, dbac, dbca, dcab,dcba
Tổng các số trên (theo hàng dọc) ta có:
6.1000.(a+b+c+d) + 6.100.(a+b+c+d) + 6.10.(a+b+c+d) + 6.(a+b+c+d)
= 6.(1000 + 100 + 10 + 1).(a+b+c+d)
= 6. 1111. 17