Có \(\sin^2a+\cos^2a=1\)\(\Leftrightarrow\sin^2a=1-\cos^2a=1-\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{8}{9}\)

\(\Leftrightarrow\sin a=\frac{\sqrt{8}}{3}\)

Xét  \(B=\frac{\sin a-3\cos a}{\sin a+2\cos a}=\frac{\frac{\sqrt{8}}{3}-3\cdot\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{8}}{3}+2\cdot\frac{1}{3}}=\frac{7-5\sqrt{2}}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2yz+2=x^2+\left(y^2+2yz+z^2\right)=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2\sqrt{x^2.\left(y+z\right)^2}=2x\left(y+z\right)\Rightarrow yz+1\ge x\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow VT\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=\frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\)

• Nếu \(x+y+z\le2\)thì \(VT\le1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
• Nếu \(x+y+z\ge2\), ta đặt x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r thì áp dụng bất đẳng thức Schur, ta được \(VT\le\frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}+3}=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^3-4p+27}\)

Khảo sát hàm trên với \(p\in\left[\sqrt{2};2\right]\)ta cũng có \(VT\le1\)

Vậy ta có: \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 0

bài này x,y,z pk không âm

Vì \(-1\le a\le1\Rightarrow a^2\le1\)Tương tự có \(b^2\le1;c^2\le1\)

Suy ra \(P=a^2+2b^2+c^2\le1+2\cdot1+1=4\)hay \(maxP=4\)

   Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\pm1\)

\(\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2\left(đk:2\le x\le\frac{10}{3}\right)\)

\(< =>4-3\sqrt{10-3x}=x^2-4x+4\)\(< =>4x-x^2-3\sqrt{10-3x}=0\)

\(< =>4x-12-\left(x^2-9\right)-3\sqrt{10-3x}+3=0\)

\(< =>4\left(x-3\right)-\left(x^2-9\right)-3\left(\sqrt{10-3x}-1\right)=0\)

\(< =>4\left(x-3\right)-\left(x-3\right)\left(x+3\right)+3\frac{3\left(x-3\right)}{\sqrt{10-3x}+1}=0\)

\(< =>\left(x-3\right)\left(4-x-3+\frac{9}{\sqrt{10-3x}+1}\right)=0\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}x-3=0\\1-x+\frac{9}{\sqrt{10-3x}+1}=0\end{cases}< =>x=3}\)

Do \(\frac{9}{\sqrt{10-3x}+1}\ge9< = >1+\frac{9}{\sqrt{10-3x}+1}\ge10\)Mà \(x\le\frac{9}{3}\)=> vô nghiệm

Ta đặt \(x^2+2y=k^2\Leftrightarrow2y=k^2-x^2=\left(k-x\right)\left(k+x\right)\) \(\left(k\inℕ\right)\)

Vì k - x và k + x cùng tính chẵn lẻ vả lại 2y chẵn

=> k - x và k + x cùng chẵn => k - x và k + x cùng chia hết cho 2

Mà \(x^2+2y=k^2\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=k^2-2y\\y=\frac{k^2-x^2}{2}\end{cases}}\)

Thay vào ta được: \(x^2+y=k^2-2y+y=k^2+y\)

\(=k^2+\frac{k^2-x^2}{2}=\frac{k^2+x^2}{2}\)

\(=\frac{2k^2+2x^2}{4}=\frac{\left(k^2+2kx+x^2\right)+\left(k^2-2kx+x^2\right)}{4}\)

\(=\frac{\left(k+x\right)^2+\left(k-x\right)^2}{4}=\left(\frac{k+x}{2}\right)^2+\left(\frac{k-x}{2}\right)^2\) là tổng 2 SCP

=> đpcm