a , Mik xin phép đc chỉnh \(\frac{1}{x-\sqrt{x}}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)vì 2 lý do :

    1 -  Bạn ghi đề ko đúng hoặc do đề sai.

    2 - Nếu để nguyên mà làm thì sẽ rất khó để rút gọn ở cuối đoạn , dẫn đến việc khó có thể làm câu b.

    ( ! ) Nhớ xem lại đề để xem có mắc lỗi hay nhầm lẫn ở chỗ nào ko nha ;)

       ĐKXĐ : \(x\ge0;x\ne1\)

      \(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+1}\)

         \(=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

         \(=\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}:\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)

         \(=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}\)

         \(=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

         \(=\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)

b , Ok câu b thì rất là đơn giản , mik ko làm hộ đâu :))

C1 : \(P>0,5\Leftrightarrow P>\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}-P< 0\)và tự làm tiếp

C2 : \(P>0,5\Leftrightarrow P>\frac{1}{2}\Leftrightarrow P-\frac{1}{2}>0\)và cũng tự làm tiếp 

Thay P = (Câu a)  + quy đồng  + rút gọn và đc kết quả là \(\frac{5-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+2}< 0\)( C1 ) hoặc \(\frac{3\sqrt{x}-5}{2\sqrt{x}+2}>0\)( C2 )

Tới đây bạn lập luận Vì \(2\sqrt{x}+2>0\forall x\ge0;x\ne1\)nên suy ra \(5-3\sqrt{x}>0\)(C1 ) hoặc \(3\sqrt{x}-5< 0\)(C2 ) và giải bất phương trình như bình thường , đc kết quả là  \(x< \frac{25}{9}\)

Kết luận : Vậy để P > 0,5 ( Hay \(\frac{1}{2}\)) thì  \(x< \frac{25}{9}\)

 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\left(\frac{1}{a^2}+1\right)\left(\frac{1}{b^2}+2\right)\left(\frac{1}{c^2}+8\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2}}.2\sqrt{\frac{2}{b^2}}.2\sqrt{\frac{8}{c^2}}=8.\sqrt{16}.\frac{1}{abc}=\frac{32}{abc}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ...

Áp dụng bất đẳng thức cô -si cho 2 số dương , ta có :

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^2}+1\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{2}{a}\\\frac{1}{b^2}+2\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2}.2}=\frac{2\sqrt{2}}{b}\\\frac{1}{c^2}+8\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2}.8}=\frac{4\sqrt{2}}{c}\end{cases}}\)

Nhân vế với vế ts có :

\(\left(\frac{1}{a^2}+1\right)\left(\frac{1}{b^2}+2\right)\left(\frac{1}{c^2}+8\right)\ge\frac{32}{abc}\left(đpcm\right)\)

Ta có : 2¹⁰⁰⁰ = (2²)⁵⁰⁰ = 4⁵⁰⁰

4⁵⁰⁰ có tận cùng bằng 6

=> 4⁵⁰⁰ : 5 dư 1

=> 2¹⁰⁰⁰ : 5 dư 1

Xem lời giải câu 6 IMO 1988

đọc chả hiểu gì bạn ơi