Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại H. Hãy biểu diễn AD,BE,CF qua các cạnh của tam giác ABC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐKXĐ : \(x\ge0;x\ne1\)
a ) \(A=\left(\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{1}{1+\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{1+\sqrt{x}}\right)+\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{1+\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}:\frac{1+\sqrt{x}-1+\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2\sqrt{x}}\)
b) \(x=6-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=5-2\sqrt{5}+1\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy tại \(x=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\)thì giá trị biểu thức A là :
\(A=\frac{3}{2\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}=\frac{3}{2\left(\sqrt{5}-1\right)}=\frac{3\left(\sqrt{5}+1\right)}{2.4}=\frac{3\sqrt{5}+3}{8}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) \(P=\frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+2}+\frac{4\sqrt{a}-4}{4-a}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+3\right)\left(-a+4\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(-a+4\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(-a+4\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(-a+4\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}+\frac{\left(4\sqrt{a}-4\right)\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(4-a\right)\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)
\(=\frac{-4a\sqrt{a}-8a+16\sqrt{a}+32}{\left(-a+4\right)\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)
\(=\frac{4\left(2+\sqrt{a}\right)\left(-a+4\right)}{\left(-a+4\right)\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)
\(=\frac{4\left(\sqrt{a}+2\right)}{a-4}\)
b) Với a = 9 thì
\(P=\frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+2}+\frac{4\sqrt{a}-4}{4-a}\)
\(=\frac{\sqrt{9}+3}{\sqrt{9}-2}-\frac{\sqrt{9}-1}{\sqrt{9}+2}+\frac{4\sqrt{9}-4}{4-9}\)
\(=\frac{3+3}{3-2}-\frac{3-1}{3+2}+\frac{4\cdot3-4}{-5}\)
\(=6-\frac{2}{5}+\frac{12-4}{-5}\)
\(=6-\frac{2}{5}+\frac{8}{-5}\)
\(=6-\frac{2}{5}+\frac{-8}{5}\)
\(=\frac{30}{5}-\frac{2}{5}-\frac{8}{5}\)
\(=\frac{20}{5}=4\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bổ sung điều kiện a,b,c > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/3
=> đpcm
Ta có bđt phụ sau \(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\ge\frac{4}{u+v}\)(*)
\(< =>uv.4\le\left(u+v\right)^2< =>\left(u-v\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng để chứng minh bđt phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)(**) , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)(đpcm)
Sử dụng bđt phụ (**) ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\sin\alpha=t>0\)thì ta có phương trình \(3t^2+2t=1\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(3t-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-1\left(l\right)\\t=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
Vậy \(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐK : \(x\ne0\)
Với \(3x-1-\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}\), ta có :
\(3x-1-\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x^2-6x+1^2}=\sqrt{\left(3x-1\right)^2}\)
Thỏa mãn ĐK : \(3x-1=\sqrt{3x+1}\)
Với x là SC thì 3x - 1 và 3x + 1 là SL , với x là SL thì 3x - 1 và 3x + 1 là SC .
Miễn sao 3x - 1 và 3x + 1 cùng một x .
=> Xảy ra khi \(3x-1=\frac{\left(3x+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow x=1\)( min = max )
Dễ có (Đã cm bài trước) : AB2 + AC2 = BC2/2 + 2AD2...
- là kiểu rì đấy b