\(C=\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}}\)

\(\sqrt{2}C=\sqrt{10+2\sqrt{21}}+\sqrt{10-2\sqrt{21}}\)

\(\sqrt{2}C=\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2+2\sqrt{7}.\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{7}\right)^2-2\sqrt{7}.\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(\sqrt{2}C=\sqrt{\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(\sqrt{2}C=\left|\sqrt{7}+\sqrt{3}\right|+\left|\sqrt{7}-\sqrt{3}\right|\)

\(\sqrt{2}C=\sqrt{7}+\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{3}=2\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow C=\sqrt{14}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}=\frac{\sqrt{x}+5-10}{\sqrt{x}+5}=1-\frac{10}{\sqrt{x}+5}\)( ĐKXĐ : x ≥ 0 )

Để A nguyên thì \(\frac{10}{\sqrt{x}+5}\)nguyên

=> \(10⋮\left(\sqrt{x}+5\right)\)

=> \(\left(\sqrt{x}+5\right)\inƯ\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)

=> \(\sqrt{x}\in\left\{0;5\right\}\)( đã loại các trường hợp âm )

=> \(x\in\left\{0;25\right\}\)( tm )

Vậy \(x\in\left\{0;25\right\}\)thì A nguyên

Bạn thông cảm ... Lập bảng giờ bị lỗi nên mình làm tắt :'(

IDB•QuỳnhElandorr  vì x không cho đk nguyên nên không đc làm cách lấy ước vậy đâu:((

https://olm.vn/hoi-dap/detail/54235495497.html

TH1: 3 số \(a,b,c\) có cùng số dư khi chia cho \(3\). 

Khi đó \(\left(a-b\right)⋮3,\left(b-c\right)⋮3,\left(c-a\right)⋮3\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮27\)

mà \(\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)suy ra \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮2\)

Suy ra \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮54\Rightarrow\left(a+b+c\right)⋮54\).

TH2: 2 trong 3 số  \(a,b,c\)có cùng số dư khi chia cho \(3\), giả sử là \(a,b\).

Khi đó \(VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮3\)mà \(VT=a+b+c⋮̸3\) (loại).  

TH3: 3 số \(a,b,c\)có 3 số dư khác nhau khi chia cho \(3\). 

khi đó \(VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮̸3\)mà \(VT=a+b+c⋮3\) (loại). 

Vậy ta có đpcm.  

\(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=x+y+12+2\sqrt{\left(x+6\right)\left(y+6\right)}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge x+y+12\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(x+y+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge4\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x+6=0\\y+6=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-6\\y=-6\end{cases}}}\).

Vậy \(minP=4\).

\(\sqrt{x}+\sqrt{2x+1}=3\) (đk: \(x\ge-\frac{1}{2}\) )

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3-\sqrt{17}\right)+\left(\sqrt{2x+1}-6+\sqrt{17}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3-\sqrt{17}\right)+\frac{2\left(\sqrt{x}-3+\sqrt{17}\right)\left(\sqrt{x}+3-\sqrt{17}\right)}{\sqrt{2x+1}+6-\sqrt{17}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3-\sqrt{17}\right)\left(1+\frac{2\sqrt{x}-6+2\sqrt{17}}{\sqrt{2x+1}+6-\sqrt{17}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=26-6\sqrt{17}\) (thõa mãn đk)    (ngoặc to >0)