Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: \(P^2=\left(\sqrt{\frac{a}{3a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{3b^2+1}}+\sqrt{\frac{c}{3c^2+1}}\right)^2\le3\left(\frac{a}{3a^2+1}+\frac{b}{3b^2+1}+\frac{c}{3c^2+1}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(\frac{a}{3a^2+1}=\frac{a}{2a^2+\left(a^2+1\right)}\le\frac{a}{2a^2+2a}=\frac{1}{2a+2}\)

Tương tự: \(\frac{b}{3b^2+1}\le\frac{1}{2b+2}\); \(\frac{c}{3c^2+1}\le\frac{1}{2c+2}\)

Do đó \(3\left(\frac{a}{3a^2+1}+\frac{b}{3b^2+1}+\frac{c}{3c^2+1}\right)\le3\left(\frac{1}{2a+2}+\frac{1}{2b+2}+\frac{1}{2c+2}\right)\le\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{8}+\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\frac{9}{8}+\frac{3}{8}.\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{9}{8}+\frac{3}{8}.\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{9}{8}+\frac{3}{8}.3=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow P^2\le\frac{9}{4}\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x^2+x+1)(x^2+x+2)

b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24

ANH ƠI GIÚP EM Được Ko

do cả hai vế đề dương ta bình phương hai vế 

\(x^2-x+1+2\sqrt{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}+x+1=x^2+4x+4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^3+1}=4x+2\Leftrightarrow x^3+1=\left(2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-4x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\pm2\sqrt{2}\end{cases}}\)do điều kiện của căn là \(x\ge-1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2+2\sqrt{2}\end{cases}}\)

tui ko biết

\(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}=x^2+2\)

Xét vế trái

\(\left(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}\right)^2\le2.\left(x^2-x+1+x+1\right)=2\left(x^2+2\right)\)

mà \(2\le x^2+2\Rightarrow VT^2\le\left(x^2+2\right)^2=VP^2\)

dâu bằng xảy ra khi x=0

áp dụng định lý pytago cho tam giác OMA vuông tại M ta có

\(MA=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-1,4^2}=4,8cm\)

do đó \(AB=2MA=9,6cm\)

\(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\)

\(=\sqrt{a-1+2\sqrt{a-1}+1}+\sqrt{a-1-2\sqrt{a-1}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{a-1}\right)^2+2\sqrt{a-1}+1}+\sqrt{\left(\sqrt{a-1}\right)^2-2\sqrt{a-1}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{a-1}+1\right|+\left|\sqrt{a-1}-1\right|\)