Cho hai số x,y dương thỏa mãn 3x + 2y<5
Tìm gtnn của biểu thức P=\(6x+10y+\frac{16}{x}+\frac{3}{y}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x-3}\)\(\le\)\(\sqrt{6-x}\)
=> \(x-3\)\(\le\)\(6-x\)
<=> x+x \(\le\)6+3
<=> 2x\(\le\)9
=> \(x\le\frac{9}{2}\)
bạn kia giải thiếu điều kiện xác định rồi
\(ĐKXĐ:3\le x\le6\)
Ta có:\(pt\Leftrightarrow x-3\le6-x\Leftrightarrow2x\le9\Leftrightarrow x\le\frac{9}{2}\)
Kết hợp với điều kiện xác định \(\Rightarrow3\le x\le\frac{9}{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:\(3\le x\le\frac{9}{2}\)
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\left(a,b,c>0\right)\).
Với \(a,b>0\), ta có:
\(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\).
\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a\).
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\).
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^4-a^3+ab+2}\ge\sqrt{ab+a+1}\).
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\).
Chứng minh tương tự (với \(b,c>0\)), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\).
Chứng minh tương tự (với \(a,c>0\)), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+a+1}}\left(3\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\left(4\right)\).
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 3 số, ta được:
\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le\)\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\)\(\left[\frac{1}{\left(\sqrt{ab+a+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{bc+b+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{ca+c+1}\right)^2}\right]\).
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le3\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)\).
Ta có:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{abc}{bc+b+abc}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{abc}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).
\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{1+ac+c}=1\).
Do đó:
\(\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\le3.1=3\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\le\sqrt{3}\left(5\right)\).
Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\)\(\sqrt{3}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\).
Vậy \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\sqrt{3}\)với \(a,b,c>0\)và \(abc=1\).
\(+2\)nhé, không phải \(-2\)đâu.
49, \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{9+6\sqrt{2}+2}-\sqrt{9-6\sqrt{2}+2}\)
\(=\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}=\left|3+\sqrt{2}\right|-\left|3-\sqrt{2}\right|=2\sqrt{2}\)
50, \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{\left(\sqrt{2}-2\right)^2}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}=\left|\sqrt{2}+1\right|+\left|2-\sqrt{2}\right|=3\)
51, \(\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+3}-\sqrt{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+3}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}=\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|-\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|=-2\sqrt{3}\)
52, \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}-\sqrt{4-4\sqrt{2}+2}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}=\left|\sqrt{2}+1\right|-\left|2-\sqrt{2}\right|=-1\)
M giải luôn nha
\(\frac{1}{2}=\frac{x^2}{\left(y+1^2\right)}+\)\(\frac{y^2}{\left(x+1\right)^2}\) \(\ge\frac{2xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow3xy\le x+y+1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{\left(y+1\right)^2}=\frac{y^2}{\left(x+1\right)^2}\\3xy=x+y+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\3x^2-2x-1=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\left(tm\right)\\x=y=-\frac{1}{3}\left(tm\right)\end{cases}}\)
Vậy ( x ; y ) ......
a.
$I$ là trung điểm của $CD$ nên $OI \perp CD$.
$\Rightarrow \widehat{SIO} = 90^{\circ}$.
Mà $\widehat{SAO} = \widehat{SBO} = 90^{\circ}$.
Suy ra 5 điểm $S,A,I,O,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$.
Ta có $\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$ (cùng chắn cung AC).
Xét $\Delta SAC$ và $\Delta SDA$ có
$\widehat{S}$ chung;
$\widehat{SAC} = \widehat{ADC}$
$\Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA$ (g.g).
$\Rightarrow \dfrac{SA}{SD} = \dfrac{SC}{SA} \Rightarrow SA^2 = SC.SD.$
b.
$\Delta SAO$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$.
$\Rightarrow SA^2 = SH.SO$.
Từ câu a ta có $SH.SO = SC.SA = SA^2 \Rightarrow \dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$.
Xét $\Delta SCH$ và $\Delta SOD$ có
$\widehat{S}$ chung;
$\dfrac{SH}{SD} = \dfrac{SC}{SO}$
$\Rightarrow \Delta SCH \sim \Delta SOD$ (c.g.c).
$\Rightarrow \widehat{SCH} = \widehat{SOD}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow CHOD$ nội tiếp.
c.
Ta có $AD // SB$, $OB \perp SB \Rightarrow OB \perp AD.$
Mà đường kính thì đi qua trung điểm day cung nên $BO$ đi qua trung điểm của AD. (1)
Áp dụng định lí Talet với $AD // SB$, $E = AB \cap SD$ và $F = ME \cap AD$.
$\Rightarrow \dfrac{FD}{SM} = \dfrac{ED}{SE} = \dfrac{AD}{SB} \Rightarrow \dfrac{SM}{SB} = \dfrac{FD}{AD} \Rightarrow F$ là trung điểm của $AD$.
Mà theo (1) $BO$ đi qua trung điểm $F$ của $AD$ nên ba điểm $B,O,F$ thẳng hàng.
https://mail.google.com/mail/u/2?ui=2&ik=b93ca8f835&attid=0.1&permmsgid=msg-f:1700635460892470281&th=1799def0faedac09&view=att&disp=safe&realattid=1799deeac7cfd6ff67a1
Bạn vào link này xem lời giải nhé
Mình làm xong rồi nhưng ko gửi đc lên olm
Thông cảm nhé!!!!!
a + b, Với \(x>0;x\ne1\)
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\)
\(=\left(\frac{x-1}{2\sqrt{x}}\right)^2\left(\frac{x-2\sqrt{x}+1-x-2\sqrt{x}-1}{x-1}\right)\)
\(=\frac{\left(x-1\right).\left(-4\sqrt{x}\right)}{4x}=\frac{-x+1}{\sqrt{x}}\)
Thay \(x=4\Rightarrow\sqrt{x}=2\)vào biểu thức A ta được
\(\frac{-4+1}{2}=-\frac{3}{2}\)
c, Ta có : \(P< 0\Rightarrow\frac{-x+1}{\sqrt{x}}< 0\Rightarrow-x+1< 0\Leftrightarrow x< 1\)
\(P=6x+10y+\frac{16}{x}+\frac{3}{y}\)
\(=9x+\frac{16}{x}+12y+\frac{3}{y}-\left(3x+2y\right)\)
\(\ge2\sqrt{9x.\frac{16}{x}}+2\sqrt{12y.\frac{3}{y}}-5\)
\(=31\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{2}\).