\(P=3x^2+3y^2+z^2=\left(x^2+y^2\right)+\left(2x^2+\frac{1}{2}z^2\right)+\left(2y^2+\frac{1}{2}z^2\right)\)

                                           \(\ge2xy+2zx+2yz=10\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2=y^2\\2x^2=\frac{1}{2}z^2\\2y^2=\frac{1}{2}z^2\end{cases}}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}z=1\)

(1) \(\Leftrightarrow y=\frac{1-3x}{2}\) thế vào (2) ta được: 

\(3x^2+x\frac{1-3x}{2}+2\left(\frac{1-3x}{2}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow6x^2+x-3x^2+1-6x+9x^2=8\)

\(\Leftrightarrow12x^2-5x-7=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow y=-1\\x=\frac{-7}{12}\Rightarrow y=\frac{11}{8}\end{cases}}\)

Bài làm < Sửa ĐK : x khác -1 >

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(x+1\ge2\sqrt{x\times1}=2\sqrt{x}\)

<=> \(\frac{1}{x+1}\le\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

<=> \(\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1

=> MaxP = 1 <=> x = 1

Bài nãy chỉ cần áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau là được ngay nhé bạn

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

    DM = DB, EM = EC, AB = AC

Chu vi tam giác ADE là :

\(C_{\Delta ADE}=AD+DE+AE=AD+DM+ME+AE\)

\(=AD+DB+EC+AE=AB+AC=2AB\left(đpcm\right)\)

\(VP=x^2+1\ge2x\)

\(VT=\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}\le\frac{x+1}{2}+\frac{3x-2+1}{2}=2x\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x^2=1\\\sqrt{x}=1\\\sqrt{3x-2}=1\end{cases}\Leftrightarrow x=1}\).

a) Gọi M là trung điểm của BC

\(\Rightarrow MB=MC=\frac{1}{2}BC\)

Tam giác BEC vuông tại E có EM là trung tuyến nên \(EM=\frac{1}{2}BC\)

Tương tự tam giác vuông BCD có \(DM=\frac{1}{2}BC\)

=> ME = MB = MC = MD

Do đó bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn tâm M ( đpcm )

b) Trong đường tròn tâm M nói trên, ta có DE là dây, BC là đường kính nên DE < BC