Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+z\ge12\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Y = \(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
CÁC BẠN ƠI GIÚP MÌNH GIẢI BÀI NÀY VỚI
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét bất đẳng thức phụ: \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow19b^3-a^3\le\left(4b-a\right)\left(ab+5b^2\right)=4ab^2-a^2b+20b^3-5ab^2\)\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)*đúng với mọi a, b > 0*
Tương tự, ta được: \(\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}\le4c-b\); \(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(DK:0\le x\le1\)
pt tren td voi:
\(3.\left[\frac{x-\left(1-x\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}\right]=3+2\sqrt{x}.\sqrt{1-x}\)
\(\Leftrightarrow3.\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)=3+2.\sqrt{x}.\sqrt{1-x}\)(1)
Dat \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=a\left(a\ge0\right)\\\sqrt{1-x}=b\left(b\ge0\right)\end{cases}}\)=> a^2+b^2=1
tu (1), ta co pt: 3(a+b)=3+2ab
bp 2 ve: 9.(a+b)^2=(3+2ab)
=> 6ab-4a^2b^2=0 ( a^2+b^2=1)
=> ....
ta sẽ chứng minh \(\frac{x^{2020}+y^{2020}}{x^{2019}+y^{2019}}\ge\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow2\left(x^{2020}+y^{2020}\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^{2019}+y^{2019}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^{2020}+y^{2020}\ge xy^{2019}+x^{2019}y\)(*) điều này đúng do
\(\hept{\begin{cases}2019x^{2020}+y^{2020}=x^{2020}+..+x^{2020}+y^{2020}\ge2020.x^{2019}y\\x^{2020}+2019y^{2020}=x^{2020}+y^{2020}+..+y^{2020}\ge2020.xy^{2019}\end{cases}}\)cộng hai BDT lại ta sẽ có (*) đúng
vậy \(\frac{x^{2020}+y^{2020}}{x^{2019}+y^{2019}}+\frac{y^{2020}+z^{2020}}{y^{2019}+z^{2019}}+\frac{z^{2020}+x^{2020}}{z^{2019}+x^{2019}}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=2020\)
dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2020}{3}\)