Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) không trùng với A, B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.1. Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp.2. Tính BM.BP theo R.3. Chứng minh hai đường thẳng PC và NQ song song.4. Chứng minh trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O).
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}x-2\sqrt{y+1}=3\\x^3-4x^2\sqrt{y+1}-9-8y=-52-4xy\end{cases}\left(ĐK\hept{\begin{cases}x\in R\\y\ge-1\end{cases}}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\\left(x^3-4x^2\sqrt{y+1}+4xy+4x\right)-13x-8y+52=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\x\left(x-2\sqrt{y+1}\right)^2-13x-8y+52=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\x\left(3+2\sqrt{y+1}-2\sqrt{y+1}\right)^2-13x-8y+52=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\9x-13x-8y+52=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\-4x-8y+52=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\-x-2y+13=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\-2\sqrt{y+1}-2y+10=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+2\sqrt{y+1}\\\sqrt{y+1}=y-5\left(1\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow y+1=y^2-10y+25\left(y\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow y^2-11y+24=0\)
\(\Delta=11^2-4.24=25>0\)
\(\Rightarrow\)pt (1) có 2 nghiệm pb \(\orbr{\begin{cases}y=\frac{11+5}{2}=8\left(tm\right)\\y=\frac{11-5}{2}=3\left(tm\right)\end{cases}}\)
+) \(y=8\Rightarrow x=9\left(tm\right)\)
+) \(y=3\Rightarrow x=7\left(tm\right)\)
Vậy hệ pt có no (x,y) =( 9,8) ; ( 7,3)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\left(1\right)\\\sqrt{x+y}=x^2-y\left(2\right)\end{cases}}\)\(ĐK:x+y>0\)
Từ \(\left(1\right)\Rightarrow x^2+y^2+2xy-1-2xy+\frac{2xy}{x+y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-1-2xy\left(1-\frac{1}{x+y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)-2xy\left(\frac{x+y-1}{x+y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x+y+1-\frac{2xy}{x+y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right).\frac{x^2+xy+x+xy+y^2+y-2xy}{x+y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2+x+y\right)=0\)( vì x+y >0 )
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1-y\\x^2+y^2+x+y=0\end{cases}}\)
TH1: Xét pt: \(x^2+y^2+x+y=0\)
Ta thấy \(\hept{\begin{cases}x^2\ge0;\forall x\\y^2\ge0;\forall y\\x+y>0\end{cases}\Rightarrow}x^2+y^2+x+y>0\)
\(\Rightarrow\)pt vô nghiệm
TH2: x=1-y thay vào (2) ta được :
\(\left(1-y\right)^2-y=1\)
\(\Leftrightarrow y^2-3y=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(y-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\Rightarrow x=1\\y=3\Rightarrow x=-2\end{cases}}\)
Vậy hệ pt có no (x,y) = (-2;3) ; (1;0)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\sqrt{x-y+2}=x+3y+2\\\left(x-y\right)\sqrt{x-y+2}=\left(x+y+1\right)\sqrt{x+y-2}\end{cases}\left(1\right)ĐK:\hept{\begin{cases}x-y\ge-2\\x+y\ge2\end{cases}}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x+y\left(a\ge2\right)\\b=\sqrt{x-y+2}\left(b\ge0\right)\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=x+y\\b^2-2=x-y\end{cases}}\)
Hệ (1) trở thành:\(\hept{\begin{cases}ab=2a-b^2+4\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-b^2-ab+4=0\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(2-b\right)-\left(b-2\right)\left(b+2\right)=0\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2-b\right)\left(a+b+2\right)=0\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}a+b+2=0\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}b=2\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\\left(a+1\right)\sqrt{a-2}=4\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\\left(a+1\right)^2\left(a-2\right)=16\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\a^3-3a-18=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\\left(a^3+3a^2+6a\right)-\left(3a^2+9a+18\right)=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\\left(a-3\right)\left(a^2+3a+6\right)=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=2\\a=3\end{cases}}\)( vì \(a^2+3a+6>0\))
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3\\\sqrt{x-y+2}=2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
TH2:\(\hept{\begin{cases}a+b+2=0\\\left(b^2-2\right)b=\left(a+1\right)\sqrt{a-2}\end{cases}}\)
Vì \(a\ge2;b\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+2>0\)
\(\Rightarrow\)hệ pt vô nghiệm
Vậy hệ pt có no (x,y) = \(\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐKXĐ : x ≥ 0 ; x ≠ 4
\(\frac{1}{\sqrt{x}-2}\ge1\)<=> \(\frac{1}{\sqrt{x}-2}-1\ge0\)
<=> \(\frac{1}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\ge0\)
<=> \(\frac{-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\ge0\)
TH1. \(\hept{\begin{cases}-\sqrt{x}+3\ge0\\\sqrt{x}-2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le9\\x>4\end{cases}}\Rightarrow4< x\le9\)
TH2. \(\hept{\begin{cases}-\sqrt{x}+3\le0\\\sqrt{x}-2< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge9\\x< 4\end{cases}}\left(loai\right)\)
Vậy với 4 < x ≤ 9 thì B ≥ 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)