Cho phương trình\(X^2-\left(m-1\right)X-3=0\)
Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(P=\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\)
\(=\frac{x\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\frac{x\sqrt{x}-3-2\left(x-6\sqrt{x}+9\right)-\left(x+4\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\frac{x\sqrt{x}-3-2x+12\sqrt{x}-18-x-4\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\frac{x\sqrt{x}-24-3x+8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)
b, Ta co : \(x=14-6\sqrt{5}=14-2.3.\sqrt{5}\)
\(=3-2.3\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(3-\sqrt{5}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=3-\sqrt{5}\)
Thay vào P ta được :
\(P=\frac{14-6\sqrt{5}+8}{3-\sqrt{5}+1}=\frac{22-6\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}=\frac{2\left(29-\sqrt{5}\right)}{11}\)
\(\hept{\begin{cases}x^4-x^3+3x^2-4y-1=0\left(1\right)\\\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}=x+2y}\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{x^2+4y^2}{2}=\frac{2\left(x^2+4y^2\right)}{4}=\frac{\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+4y^2\right)}{4}\ge\frac{\left(x+2y^2\right)}{4}\)( bunhiacopxki )
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}\ge\frac{x+2y}{2}\)
Lại có: \(\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}\ge\frac{x+2y}{2}\)( 2)
Chứng minh: Đẳng thức cần chứng minh \(\Leftrightarrow\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}\ge\frac{x^2+4xy+4y^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^2+8xy+16y^2\ge3x^2+12xy+12y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-4xy+4y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2\ge0;\forall x,y\)
=> (2) đúng )
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}\ge x+2y\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=2y\)
Thay x=2y vào (1) ta được:
\(x^4-x^3+3x^2-2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-1\right)+3x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+3x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\Rightarrow y=\frac{1}{2}\\x^2+3x+1=0\left(3\right)\end{cases}}\)
\(\Delta_{\left(3\right)}=3^2-4=5>0\)
\(\Rightarrow\)pt (3) có 2 nghiệm phân biệt \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\frac{-3+\sqrt{5}}{4}\\x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\frac{-3-\sqrt{5}}{4}\end{cases}}\)
Vậy ...
Ta có: \(y^2+xy+x+y+5=y^2+xy+x+y+4+1\)
\(=y^2+xy+x+y+\left(x+y\right)\left(x+1\right)+1\)
\(=\left(x+y+1\right)^2\)
\(x^3+y^3+12y+13=x^3+y^3+12\left(y+1\right)+1\)
\(=x^3+y^3+3\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\)
\(=x^3+y^3+3\left(x+y\right)\left(xy+x+y+1\right)+1\)
\(=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1\)
\(=\left(x+y+1\right)^3\)
Khi đó phương trình thứ hai tương đương với
\(\left(x+y+1\right)^5=243\Leftrightarrow x+y+1=3\)
Từ đây kết hợp phương trình một ta được \(x=y=1\).
a, Ta có \(\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)
\(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\)
Do 3 > 1 nên \(\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
a) căn 25 - 16 > căn 25 - căn 16
b)Với nên đều xác định
Để so sánh và ta quy về so sánh và .
+) .
+)
.
Do nên
Do
(đpcm)
Vậy .
Δ = b2 - 4ac = [ -( m - 1 ) ]2 + 12
= ( m - 1 )2 + 12 ≥ 12 > 0 ∀ m
hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m ( đpcm )