a) vẽ bạn tự vẽ nha

b) Xét pt hoành độ giao điểm chung của (d) và (P) ta có:
\(\frac{1}{4}x^2=x+m\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-4m=0\left(1\right)\)

\(\Delta^,=4+4m\)

Để (d) tiếp xúc với (P) \(\Leftrightarrow\Delta^,=0\)

\(\Leftrightarrow4+4m=0\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)

Thay m=-1 vào pt (1) ta được : 

\(x^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

\(\Rightarrow y=\frac{1}{4}.2^2=1\)

Gọi tọa độ tiếp điểm của (d) tiếp xúc với (P) là A(x,y) 

=> tọa độ tiếp điểm là \(A\left(2;1\right)\)

Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì có bán kính bằng 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy.

Ta có: R = 1, và đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy nên ta có: d = R, suy ra d = 1.

=> Tâm O cách đường thẳng xy một khoảng cố định 1cm nên nằm trên các đường thẳng (a) và (b) song song với xy và cách xy một khoảng là 1cm.

Gọi $O$ là tâm của một đường tròn bất kì có bán kính bằng 1 cm và tiếp xúc với đường thẳng $xy$. Khi đó khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $xy$ là 1cm. Tâm $O$ cách đường thẳng $xy$ cố định 1cm nên nằm trên hai đường thẳng $m$ và $m^{\prime }$ song song với $xy$ và cách $xy$ là 1cm.

Kẻ AH ⊥ Ox, AK ⊥ Oy.

Vì AH = 4 > R = 3 nên đường tròn tâm (A) và trục hoành không giao nhau.

Vì AK = 3 = R nên đường tròn (A) và trục tung tiếp xúc nhau.

Đg tròn A ko giao nhau vs trục hoành

Đg tròn A tiếp xúc vs trục tung

Cắt nhau

6cm

Không cắt nhau

a) đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\left(\frac{4}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-6}{x+2\sqrt{x}}\right)\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{4\sqrt{x}-\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{3\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\)

\(M=\frac{x}{\sqrt{x}-1}\cdot\frac{3\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\)

\(M=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

b) Nếu \(\sqrt{x}-1< 0\Rightarrow M< 0\)

Nếu \(\sqrt{x}-1>0\Rightarrow M>0\) nên TH này thỏa mãn

Với \(\sqrt{x}-1>0\Leftrightarrow\sqrt{x}>1\Rightarrow x>1\)

\(M=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)+3}{\sqrt{x}-1}=3+\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

Để M lớn nhất => \(\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)max => \(\sqrt{x}-1\) min

...

\(x^2-2x+m-3=0\)

\(\Delta=4-4m+12\)

Để pt có 2 no \(x_1,x_2\Leftrightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow16-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le4\)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(1\right)\\x_1.x_2=m-3\left(2\right)\end{cases}}\)

\(x_1^2+3x_2^2=4x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-3x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=x_2\\x_1=3x_2\end{cases}}\)

TH1: \(x_1=x_2\) 

Kết hợp với (1)

 \(\Rightarrow x_1=x_2=1\)

Thay \(x_1=x_2=1\)vào (2) ta được :

\(m-3=1\)

\(\Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)

TH2: \(x_1=3x_2\)

kết hợp với  (1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1=3x_2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{3}{2}\\x_2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Thay \(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{3}{2}\\x_2=\frac{1}{2}\end{cases}}\)vào (2) ta được:

\(\frac{3}{4}=m-3\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{15}{4}\left(tm\right)\)

Vậy \(m\in\left\{4;\frac{15}{4}\right\}\)thì pt có no \(x_1,x_2\)thỏa mãn \(x_1^2+3x_2^2=4x_1x_2\)

Để \(|P|>P\)

=> P > 0

<=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}>0\)

<=> \(\sqrt{x}-1>0\)  ( vì \(\sqrt{x}+2>0\))

<=> \(\sqrt{x}>1\)

<=> \(x>1\)

Kết hợp cả ĐKXĐ đề bài cho rồi kết luận nhé

Câu 8:

a, Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt trái dấu =>ac<0=>1(m²-m-2)<0

                                                                                                         =>m²-m-2<0

                                                                                                         =>(m-2)(m+1)<0

                                                                                                         =>\(\hept{\begin{cases}m-2< 0\\m+1>0\end{cases}}\)(vì m-2<m+1)

                                                                                                         =>\(\hept{\begin{cases}m< 2\\m>-1\end{cases}}\)=>-1<m<2

b, Để phương trình có 2 nghiệm x_1;x₂=>đenta'=(-m)²-1(m²-m-2) lớn hơn hoặc bằng 0

                                                             =>m²-m²+m+2 lớn hơn hoặc bằng 0

                                                              =>m+2 lớn hơn hoặc bằng 0

                                                              =>m lớn hơn hoặc bằng -2

Theo hệ thức Vi-ét:\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m-2\end{cases}}\)

Theo bài ra:x₁²+x₂²=4

                  =>(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4

                  =>(2m)²-2(m²-m-2)=4

                  =>4m²-2m²+2m+4=4

                  =>2m²+2m=0

                  =>2m(m+1)=0

                  =>\(\orbr{\begin{cases}2m=0\\m+1=0\end{cases}}\)

                  =>\(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-1\end{cases}}\)(thỏa mãn đk m lớn hơn hoặc bằng -2)

Câu 9:

a, Ta có: đenta=(-m)²-4(m-1)=m²-4m+4=(m-2)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0=>Pt luôn có nghiệm với mọi m