Độ dài bán kính đáy là: \(r=\frac{40}{2}=20\left(cm\right)\).

Độ dài đường sinh là: \(l=\sqrt{20^2+25^2}=5\sqrt{41}\left(cm\right)\).

Diện tích phần bìa cứng để làm chiếc mũ là: \(S=\pi rl\approx2010,58\left(cm^2\right)\).

a) Ta có ^EBI = 1/2(^ABC + ^BAC) = ^EIB => EI = EB  (1)

^EFB = 180⁰ - ^BAC/2 = ^EBK => \(\Delta\)EFB ~ \(\Delta\)EBK => EB² = EF.EK (2)

(1);(2) => EI² = EF.EK (đpcm).

b) Định nghĩa lại các điểm như sau: K' nằm trên tia đối tia BC sao cho CK' = CA, AK' giao IB tại P', EK' cắt lại (O) tại F'.

Ta dễ có ^CK'I = ^CAI = ^BAI => (A,I,B,K')_cyc 

=> ^AP'I = 180⁰ - ^P'AI - ^AIP' = 180⁰ - ^ABC/2 - 90⁰ - ^ACB/2 = ^BAC/2 = ^K'F'B

=> (K',P',F',B)_cyc => ^K'F'B = ^K'BP' = ^ABC/2 = ^K'AD (3)

Tương tự câu a ta có EF'.EK' = EI² = ED.EA => (A,K',F',D)_cyc => ^K'AD = 180⁰ - ^K'F'D (4)

(3);(4) => P',F',D thẳng hàng

Từ đây suy ra: DF'.DP' = DB.DK' = DI.DA => (A,I,P',F')_cyc 

Mà (AIP') tiếp xúc với AC vì ^IAC = ^IP'A = ^BAC/2 nên F' trùng với F, dẫn đến K' trùng K và P' trùng P

Vì A,K',P' thẳng hàng nên A,K,P thẳng hàng (đpcm).

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

<=> \(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)

<=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

<=> \(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)

<=> \(\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+1+1+\frac{b+c}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}+1+\frac{c+a}{a+b}\ge9\)

<=> \(\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+\left(\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{b+c}\right)\ge6\)(đúng)

=> ĐPCM

Mình làm cách đơn giản nhất nhá :))

Ta có:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\left(Cauchy-Schwarz\right)\)

Hay \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3\ge\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)