1.Giải:

a. Vì tam giác ABC vuông tại A và AM = \(\frac{1}{2}\)BC

=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

=> M là trung điểm của cạnh BC

=> AM = BM = \(\frac{1}{2}\)BC

Vì AM = BM => Tam giác ABM cân tại M

b. Vì N là trung điểm của AB

=> MN là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của tam giác ABM

Mà tam giác ABM cân tại M ( câu a )

=> MN đồng thời là đường cao xuất phát từ M của tam giác ABM

=> \(MN\perp AB\)

Do đó: MN//AC (cùng vuông góc với AB)

=> MNAC là hình thang

Mặt khác: \(\widehat{NAC}\)= \(^{90^0}\)(gt) 

=> Tứ giá MNAC là hình thang vuông.

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3

Mà 8 và 5 chia 3 dư 2 nên nếu số chính phương có tổng các chữ số là 8 hoặc 5 thì số đó chia 3 dư 2; vô lí vì số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Vậy tổng các chữ số của số chính phương không thể = 8 hoặc 5

Gọi 3 số lẻ liên tiếp cần tìm là a, a + 2, a + 4  ( a thuộc N )
Theo đầu bài ta có:
\(\left(a+2\right)\left(a+4\right)-a\left(a+2\right)=404\)
\(\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a+4-a\right)=404\)
\(\Rightarrow\left(a+2\right)\cdot4=404\)
\(\Rightarrow a+2=101\)
\(\Rightarrow a=99\)
Vậy 3 số lẻ liên tiếp cần tìm là: 99 ; 101 và 103

\(\left(x+1\right)^2-\left(2-x\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1+2-x\right)\left(x+1-2+x\right)=4\)

\(\Leftrightarrow3\left(2x-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow2x-1=\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow2x=\frac{7}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{7}{3}:2=\frac{7}{6}\)

          x² + 2x + 1 - 4 + 4x - x² = 4

<=> 6x = 7

<=> x = \(\frac{7}{6}\)

    \(2x^4+x^3-6x^2+x+2\) 

= \(2x^4+4x^3-3x^3-6x^2+x+2\)

= \(2x^3\left(x+2\right)-3x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\)

= \(\left(x+2\right)\left(2x^3-3x^2+1\right)\)

=\(\left(x+2\right)\left(2x^3-2x^2-x^2+1\right)\)

=\(\left(x+2\right)\left(2x^2\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\left(x-1\right)\right)\)

=\(\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(2x^2-x-1\right)\)

= \(\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(2x^2-2x+x-1\right)\)

=\(\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(2x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\right)\)

=\(\left(x+2\right)\left(2x+1\right)\left(x-1\right)^2\)

+ Xét tg vuông ABC có

^ABH=^ACB (cùng phụ với ^BAC)

+ Trên tia đối của tia BH lấy điểm H' sao cho BH'=BH

Trong tg HCH' có BH=BH'; BE//CH' => BE là đường trung bình  => EH=EC

Từ B Kẻ đường thẳng // CH' cắt AC tại E, Kéo dài tia AM cắt BE tại L

+ Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông  BCH có ^ABH = ^ BCH (cmt) => tg ABH đồng dạng tg BCH

=>\(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{CH}=\frac{2BM}{2CE}=\frac{BM}{CE}\)

+ Xét tg ABM và tg BCE có

\(\frac{AB}{BC}=\frac{BM}{CE}\) (cmt) và ^ABH = ^BCH => tam giác ABM và tam giác BCE đồng dạng

=> ^AMB = ^BEC => ^AMH = ^BEH (1)

+ Trong tg vuông AMH có

^ MAH + ^AMH = 90^o (2)

Từ (1) và (2) => ^MAH + ^BEH = 90^o

+ Xét tg ALE có ^MAH + ^BEH = 90^o => ^ALE = 90^o => AL vuông góc với BE

Mà BE//CH'

=> AL vuông góc với CH' (*)

+ Xét tứ giác HKH'C có

BH=BH'

BK=BC

=> HKH'C là hình bình hành => KH//CH' (**)

Từ (*) và (**) => AL vuông góc KH hay AM vuông góc KH (dpcm)

\(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)-\left(3n+5\right)\left(2n-1\right)\)

\(=6n^2+30n+n+5-\left(6n^2-3n+10n-5\right)\)

\(=6n^2+31n+5-6n^2-7n+5\)

\(=24n+10\)

\(=2\left(12n+5\right)\) chia hết cho 2

=> \(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)-\left(3n+5\right)\left(2n-1\right)\)chia hết cho 2 (Đpcm)