Cho tam giác ABC có góc A tù nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ 2 đường cao BB và CC của tam giác ABC.Chứng minh rằng B C vuông góc với OA?

tìm (x;y) thuộc Z thỏa mãn: \(\left(x-2018\right)^2=y^4-6y^5+11y^2-6y\)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N,P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên cạnh AB,AC. H là hình chiếu vuông góc của N lên PD.

1) xác định vị trí điểm M để diện tích tg ABH lớn nhất

2) cm khi M thay đổi đường thẳng HN luôn đi qua điểm cố định

Gpt

\(2x^2+4=5\sqrt{x^3+1}\)

Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn ^{\(\frac{x}{1+x} + \frac{2y}{1+y} = 1\)} . Tìm giá trị lớn nhất của xy²

Cho \(\Delta ANM\) , đường thẳng d // AM cắt NA ở B, cắt NM ở C. Qua C dựng đường thẳng song song với NA, đường thẳng này cắt AM ở D.

a) Chứng minh: \(S_{\Delta BDC}\le\dfrac{1}{4}S_{\Delta ANM}\) 

b) Tìm vị trí của đường thẳng d sao cho diện tích \(\Delta BDC\) lớn nhất

cho (I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC,CA,AB tương ứng tại các điểm A', B', C'. Gọi giao của ( I) cới các đoạn thẳng IA,IB,IC lần lượt là M, N, P. Kéo dài AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D khác A. CMR

a) A'M, B'N, C'P đồng quy

b) \(r=\frac{IB.IC}{2ID}\)( r là bán kính của đường tròn I)

tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình:

\(x^2+y\left(y^2+y-3x\right)=0\)