Sửa đề: 

\(\frac{x}{2016}=\frac{y}{2017}=\frac{z}{2018}=\frac{y-x}{1}=\frac{z-y}{1}=\frac{z-x}{2}\)

\(\Rightarrow x-z=2\left(x-y\right)=2\left(y-z\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right)^3=4\left(x-y\right)^2.2\left(y-z\right)=8\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)\)

cảm ơn bạn alibaba nguyễn

Có nhận xét: Các mẫu số là lũy thừa của 2.

Nhân A với 2 ta được:

\(2A=2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{100}{2^{99}}\)

Lấy 2A - A ta có:

\(2A-A=\left(2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{...100}{2^{99}}\right)-\left(1+\frac{3}{2^3}+...+\frac{99}{2^{99}}+\frac{100}{2^{1000}}\right)\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{3}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{2}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)       (1)

Đặt \(B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)         (*)

Ta có: \(2B=2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{98}}\)      (**)

Lấy (**) trừ đi (*) ta có:

   \(2B-B=2-\frac{1}{2^{99}}\)

\(\Rightarrow B=2-\frac{1}{2^{99}}\)

Thay vào (1) ta có:

  \(A=B-\frac{100}{2^{100}}=2-\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}\)

        \(=2-\frac{102}{2^{100}}\)

bn ơi sai đoạn 2a-a rồi phải là \(\frac{100}{2^{100}}\).bn viết thừa 1 số 0

Kéo dài AD cắt EC tại I. Xét tam giác IAC có \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}=45^o\Rightarrow\widehat{AIC}=90^o\Leftarrow AD\perp EC.\)

Xét \(\Delta EAC\) có \(AD\perp EC;EB\perp AC\Rightarrow\) D là trực tâm hay \(DC\perp EA\left(1\right).\)

Tam giác EDC có NP là đường trung bình nên NP // DC (2).

Tam giác EDA có NM là đường trung bình nên NM // AE (3).

Từ (1), (2), (3) ta suy ra \(MN\perp NP.\)

Lại có \(AE^2=AB^2+EB^2=DB^2+BC^2=DC^2\Rightarrow AE=DC.\)

Mà \(NM=\frac{EA}{2};NP=\frac{DC}{2}\Rightarrow MN=NP\)

Vậy tam giác NMP vuông cân tại N.

Bài này dễ ko í mà

Vẽ phân giác\(\widehat{BIC}\) cắt BC tại F(1).Ta có :\(\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2};\widehat{C_2}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\)(BD,CE lần lượt là phân giác của\(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\): gt)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=180^0-\left(\widehat{B_2}+\widehat{C_2}\right)=180^0-\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=180^0-\frac{180^0-\widehat{A}}{2}=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{I_4}=180^0-\widehat{BIC}=60^0\)(vì kề bù) ;\(\widehat{I_2}=\widehat{I_3}=\frac{\widehat{BIC}}{2}=60^0\)(do (1))

\(\Rightarrow\Delta IBE=\Delta IBF\left(g.c.g\right);\Delta ICF=\Delta ICD\left(g.c.g\right)\)=> IE = IF (2 cạnh tương ứng) ; IF = ID (2 cạnh tương ứng)

=> IE = ID

Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé!

a) Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) và \(b.d>0\) nên suy ra \(ad< bc\).

Tách bất đẳng thức kép cần chứng minh thành 2 bất đảng thức  \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) và  \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Ta cần chứng minh:

     \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

    \(\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< \left(a+c\right)b\) (do b, d > 0)

    \(\Leftrightarrow ab+ad< ab+cb\)

   \(\Leftrightarrow ad< cb\)

Bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) đúng.

Ta cần chứng minh tiếp:

      \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

     \(\Leftrightarrow\left(a+c\right)d< c\left(b+d\right)\) do b.d > 0

     \(\Leftrightarrow ad+cd< cb+cd\)

    \(\Leftrightarrow ad< cb\)

Bất đẳng thức cuối đúng do giả thiết.

Vậy bài toán được chứng minh

b) Áp dụng câu a ta có:

Từ \(\frac{-1}{3}< \frac{-1}{4}\) => \(\frac{-1}{3}< \frac{-1-1}{3+4}< \frac{-1}{4}\)

Ta lấy phân số xen giữa là \(-\frac{2}{7}\) và ta có: \(\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)

Áp dụng tiếp kết quả câu a ta được:

  \(\frac{-1}{3}< \frac{-1-2}{3+7}< \frac{-2}{7}< \frac{-2-1}{7+4}< \frac{-1}{4}\)

Hay là:

  \(\frac{-1}{3}< \frac{-3}{10}< \frac{-2}{7}< \frac{-3}{11}< \frac{-1}{4}\)

Và 3 phân số xen giữa là: \(-\frac{3}{10};-\frac{2}{7};-\frac{3}{11}\)

a, Ta chứng minh: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\), biết \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{cd}{bd}\)vì \(b>0;d>0\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow ab+d< ba+c\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}\)

Tương tự: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\). Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

b, \(\frac{-1}{3}=\frac{-16}{48}< \frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}< \frac{-12}{48}=\frac{-1}{4}\)

Vậy 3 số hữu tỉ đó là: \(\frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}\)

Phần c đơn giản lắm :) Vừa nghĩ ra tiếp :

Ta có :

• \(4.\left(S_{ABC}\right)^2=\left(2.S_{ABC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(AB.AC\right)^2=\left(AH.BC\right)^2\)

\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2.BC^2\)

Mà \(BC^2=AB^2+AC^2\)( Pythagores )

\(\Rightarrow AB^2.AC^2=AH^2\left(AB^2+AC^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AB^2+BC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

Vậy...

Ngồi nháp rồi nghĩ ra phần a  :) Sẽ cập nhật khi nghĩ được b , c

[ Tự vẽ hình ]

Áp dụng định lý Pythagores có :

• \(AB^2+AC^2=BC^2\)
• \(AH^2=AC^2-HC^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow AH^2=\frac{AC^2-HC^2+AB^2-HB^2}{2}\)

\(=\frac{\left(AB^2+AC^2\right)-\left(HB^2+HC^2+2HB.HC\right)+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{BC^2-\left(HB+HC\right)^2+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{BC^2-BC^2+2HB.HC}{2}\)

\(=\frac{2HB.HC}{2}\)

\(=HB.HC\)

Vậy \(AH^2=HB.HC.\)

Nhók Bạch Dương: Copy ghê thế!  Mình vừa đưa bài giải xong ,4 tiếng sau có người giải y chang, xóa có đề bài 1 đi, rồi đổi vị trí các các dấu <=> ; => mà tôi đặt để cho mọi người không nhận ra! Tưởng tôi ko biết à?

Bài 1. Đề sai! Sửa lại:  Trong bình có chứa 20 lít rượu, người ta rót 1 phần của nó ra và đổ 1 lượng nước như thế vào bình. Sau đó hoà tan chúng rồi lại rót ra 1 lượng bằng lúc đầu rót ra và lại đổ 1 lượng nước như thế vào bình. Trong bình hiện giờ lượng rượu chỉ bằng 1/2 lượng nước. Tìm lượng nước của người ta đã đổ vào bình mỗi lần.

       Giải

Từ đề bài. Ta có sơ đồ lượng rượu/nước sau khi rót/đổ là:

Rượu: I-----------I                    20 l rượu

Nước: I-----------I-------------I

Vì mỗi lần rót 1 số lượng rượu và đổ vào số lượng nước bằng số lượng rượu đã rót. Vậy mỗi lần rót/đổ vào 2 loại: nước và rượu  và làm như thế 2 lần

=> Số lượng nước mỗi lần rót ra:

20 : (2 x 2) = 5 lít

Đs: 5 lí nước

Bài 2) Giải

Gọi số tiền ban đầu là 100%

Nếu giá tăng lên 20% , lúc đó số tiền anh ấy có = 80% (100% - 20%) số tiền anh có lúc đầu 

=> Số tiền 80% chính là số tiền dùng để mua bánh mì sau khi tăng giá

=> 20% là số tiền để mua chai nước sau khi tăng giá

20% < 80% => Anh ấy đủ số tiền để mua ít nhất 1 chai nước nếu giá tăng lên 20%

Bài 3: Sửa đề: Tháng 9, giá vé mỗi chuyến đi tàu điện là 800 rúp. Tháng 10, giá vé tăng nên số lượng bán giảm đi 25% số tiền thu đc giảm đi 25%. Hỏi giá vé đi tàu điện tháng 10 là bao nhiêu?

Giải

Coi số tiền ban đầu là 100% (tương đương với 800 rúp)

 Vì giá vé tăng, nên số lượng bán giảm đi 25%, vậy số lượng bán lúc này còn:

100% - 25% = 75%

Số tiền thu được giảm đi 25% 

=> Số tiền thu được mỗi vé= 75% (100% - 25%) số tiền ban đầu thu được

=> Giá vé tháng 10 là: 800 x 75% = 600 rúp

Đs:

Ta có \(\frac{x+1}{2001}+\frac{x+2}{2002}+\frac{x+3}{2003}+\frac{x+4}{2004}=4\)

\(\Rightarrow\frac{x+1}{2001}+\frac{x+2}{2002}+\frac{x+3}{2003}+\frac{x+4}{2004}-4=0\)

\(\Rightarrow\frac{x+1}{2001}-1+\frac{x+2}{2002}-1+\frac{x+3}{2003}-1+\frac{x+4}{2004}-1=0\)

\(\Rightarrow\frac{x+1-2001}{2001}+\frac{x+2-2002}{2002}+\frac{x+3-2003}{2003}+\frac{x+4-2004}{2004}=0\)

\(\Rightarrow\frac{x-2000}{2001}+\frac{x-2000}{2002}+\frac{x-2000}{2003}+\frac{x-2000}{2004}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2000\right)\left(\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}+\frac{1}{2004}\right)=0\)

Ta thấy ngay \(\Rightarrow\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}+\frac{1}{2004}\ne0\)

\(\Rightarrow x-2000=0\Rightarrow x=2000.\)

\(\frac{x+1}{2001}+\frac{x+2}{2002}+\frac{x+3}{2003}+\frac{x+4}{2004}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1}{2001}-1\right)+\left(\frac{x+2}{2002}-1\right)+\left(\frac{x+3}{2003}-1\right)+\left(\frac{x+4}{2004}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1-2001}{2001}\right)+\left(\frac{x+2-2002}{2002}\right)+\left(\frac{x+3-2003}{2003}\right)+\left(\frac{x+4-2004}{2004}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2000}{2001}+\frac{x-2000}{2002}+\frac{x-2000}{2003}+\frac{x-2000}{2004}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-200\right)\left[\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}+\frac{1}{2004}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x-2000=0\)

\(\Leftrightarrow x=2000\)

Theo mình nghĩ các bạn nên giải thế này : 

- ) Khi chia cho 11 :

Ta có : 

3⁵ = 243 : 11 dư 1

3²⁰ = 3486784401 : 11 dư 1 

3¹⁰⁰ = 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3⁵⁰⁰ = 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3²⁰⁰⁵ = 3⁵ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

Lại có :

4⁵ = 1024 : 11 dư 1

4²⁰ = 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

4¹⁰⁰ = 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

4⁵⁰⁰ = 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

4²⁰⁰⁵ = 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ = 1 + 1 = 2 ( 2 là số dư )

Vậy 3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ chia cho 11 dư 2

- ) Khi chia cho 13

Ta có :

3⁵ = 243 : 13 dư 9 

3²⁰ = 3486784401 : 13 dư 9

3¹⁰⁰ = 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ . 3²⁰ = 9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 59049 : 13 dư 1

3⁵⁰⁰ = 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ . 3¹⁰⁰ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 ( 1 là số dư )

3²⁰⁰⁵ = 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵⁰⁰ . 3⁵ = 1 . 1 . 1 . 1 . 9 = 9 ( là số dư ) 

Lại có :

4⁵ = 1024 : 13 dư 10

4²⁰ = 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ . 4⁵ = 10 . 10 . 10 . 10 = 10000 : 13 dư 3

4¹⁰⁰ = 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ . 4²⁰ = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 : 13 dư 9

4⁵⁰⁰ = 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ . 4¹⁰⁰ = 9 . 9 . 9 . 9 . 9 = 59049 : 13 dư 3

4²⁰⁰⁵ = 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵⁰⁰ . 4⁵ = 3 . 3 . 3 . 3 . 10 = 810 : 13 dư 4

3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ = ( 9 + 4 + 13 ) : 13 = 26 : 13 chia hết 

Vậy 3²⁰⁰⁵ + 4²⁰⁰⁵ chia cho 13 không dư 

hình như đề sai