T-T MÌNH KO HIỂU

thiếu đề nhưng mk đã làm 1 bài giống thế này nên biết đoạn sau của nó như sau: CMR:AB+BC+CA>3/2(AH+BH+CH)...Nếu ko đúng thì bỏ qua nhé!

Nếu chỉ có BDT đươn thuần thì : 
Qua H kẻ đt // AC cắt AB tại X và đt // AB cắt AC tại Y => XHY là hbh và HX vg BH, HY vg CH 
AB + AC = BX + (XA + AY) + YC = BX + (AX + XH) + YC > HB + HA + HC 
Tương tự có BA + BC > HA + HB + HC, CA + CB > HA + HB + HC 
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có 2(AB + AC + BC) > 3(HA + HB + HC) 
```````````````````````````````````````... 
Ta se Cm một BDT mạnh hơn và toàn diện hơn 
Giả sử a >=b >= c. Do 2S = a ha = b hb = c hc =>ha <= hb <= hc 
Goij A1; B1 ; C1 lan luot la hinh chieu cua A; B : C len cac canh cua Tam giac ABC 
Ta co ha = AH.S/( Sb + Sc) ≤ hb = BH.S/(Sa + Sc) => AH( Sa + Sc) ≤ BH( Sb + Sc) (1 ) 
Ta se CM Sa ≥ Sb 
DO Sa/Sb = BC1/AC1 = BC cosB /( AC cosA) = sinA cosB/(sinB cosA) = tanA/tanB ≥ 1 do a ≥ b suy ra Sa≥ Sb => Sa + Sc ≥ Sb + Sc ( 2) 
Tu (1) va (2 ) suy ra AH ≤ BH, tuong tu ta suy ra BH ≤ CH do do AH ≤ BH ≤ CH \ 
Do 6S = a ha + b hb + c hc = aAH + b BH + c CH + 2(Sa+Sb+Sc) = 
= aAH + b BH + c CH +2S => aAH + b BH + c CH = 4S 
Áp dụng BDT che-bu-sep ta co (a+b+c)(AH + BH + CH) <= 3( a AH + b BH + c CH) 

= 12S = 6absinC = 24R^2 sinA sinB sinC 
Ta dự đoán 12R^2 sinA sinB sinC <= 1/(2√3) (a+b+c)^2 = 2/(√3)R^2 * ( sinA + sinB + sinC)^2 
<=> sinA sinB sinC < = 1/(6√3) ( sinA + sinB + sinC)^2 
Ta có (sinA + sinB + sinC )^2 <= 3( sin^2A + sin^2B + sin^2C) = 
= 3/2 ( 2 - cos^2C + cosC cos( A-B) ) <= 3/2 ( 2 -cos^2C + cosC) 
<= 27/4 =>sinA + sinB + sinC ≤ 3√3/2 
=> 3√3/2 ≥ 3³√(sinA sinB sinC) => ³√(sinA sinB sinC) ≤ √3/2 
suy ra (sinA + sinB + sinC)²/(sinA sinB sinC) ≥ 9/³√(sinA sinB sinC) ≥ 6√3 
Từ đó suy ra (a+b+c)(AH + BH + CH) ≤ √3/3 ( a + b + c )² => 
=> 3/2( AH + BH + CH) ≤ √3/2 (a+b+c) < a + b + c 

THIẾU ĐỀ NHƯNG MÌNH LÀM BÀI TƯƠNG TỰ GIỐNG BÀI CỦA BẠN NHA !

Nếu chỉ có BDT đươn thuần thì : 
Qua H kẻ đt // AC cắt AB tại X và đt // AB cắt AC tại Y => XHY là hbh và HX vg BH, HY vg CH 
AB + AC = BX + (XA + AY) + YC = BX + (AX + XH) + YC > HB + HA + HC 
Tương tự có BA + BC > HA + HB + HC, CA + CB > HA + HB + HC 
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có 2(AB + AC + BC) > 3(HA + HB + HC) 
```````````````````````````````````````... 
Ta se Cm một BDT mạnh hơn và toàn diện hơn 
Giả sử a >=b >= c. Do 2S = a ha = b hb = c hc =>ha <= hb <= hc 
Goij A1; B1 ; C1 lan luot la hinh chieu cua A; B : C len cac canh cua Tam giac ABC 
Ta co ha = AH.S/( Sb + Sc) ≤ hb = BH.S/(Sa + Sc) => AH( Sa + Sc) ≤ BH( Sb + Sc) (1 ) 
Ta se CM Sa ≥ Sb 
DO Sa/Sb = BC1/AC1 = BC cosB /( AC cosA) = sinA cosB/(sinB cosA) = tanA/tanB ≥ 1 do a ≥ b suy ra Sa≥ Sb => Sa + Sc ≥ Sb + Sc ( 2) 
Tu (1) va (2 ) suy ra AH ≤ BH, tuong tu ta suy ra BH ≤ CH do do AH ≤ BH ≤ CH \ 
Do 6S = a ha + b hb + c hc = aAH + b BH + c CH + 2(Sa+Sb+Sc) = 
= aAH + b BH + c CH +2S => aAH + b BH + c CH = 4S 
Áp dụng BDT che-bu-sep ta co (a+b+c)(AH + BH + CH) <= 3( a AH + b BH + c CH) 

= 12S = 6absinC = 24R^2 sinA sinB sinC 
Ta dự đoán 12R^2 sinA sinB sinC <= 1/(2√3) (a+b+c)^2 = 2/(√3)R^2 * ( sinA + sinB + sinC)^2 
<=> sinA sinB sinC < = 1/(6√3) ( sinA + sinB + sinC)^2 
Ta có (sinA + sinB + sinC )^2 <= 3( sin^2A + sin^2B + sin^2C) = 
= 3/2 ( 2 - cos^2C + cosC cos( A-B) ) <= 3/2 ( 2 -cos^2C + cosC) 
<= 27/4 =>sinA + sinB + sinC ≤ 3√3/2 
=> 3√3/2 ≥ 3³√(sinA sinB sinC) => ³√(sinA sinB sinC) ≤ √3/2 
suy ra (sinA + sinB + sinC)²/(sinA sinB sinC) ≥ 9/³√(sinA sinB sinC) ≥ 6√3 
Từ đó suy ra (a+b+c)(AH + BH + CH) ≤ √3/3 ( a + b + c )² => 
=> 3/2( AH + BH + CH) ≤ √3/2 (a+b+c) < a + b + c 
```````````````````````````````````````... 
Rõ ràng BDT cuối mà ta cm dc mạnh hơn BDT cần CM 

Ta có \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

            \(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\) thì:

\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

Vì \(x,y\in Z\) nên \(x^2\in Z,\)\(5xy\in Z,\)\(5y^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(x^2+5xy+5y^2\in Z\)

Vậy A là số chính phương.

sao may ko ket ban

Gọi giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của NC và EF là I.

Xét tam giác ANC có M là trung điểm AN, O là trung điểm AC nên MO là đường trung bình tam giác ANC. Vì vậy, MO hay BD song song NC.

Ta có: \(\widehat{EFC}=\widehat{NCF}=\widehat{CDM}=\widehat{DCA}\Rightarrow\) EF // AC.

b. Kéo dài EF cắt AN tại M', ta chứng minh M' = M.

Thật vậy, xét tam giác ANC có I là trung điểm NC, IM' song song AC nên M' là trung điểm AN. Vậy M' trùng M hay M, E ,F thẳng hàng.

Hoàng Thị Thu Huyền cô Huyền ơi cho em hỏi tại s anh Việt và cô gv (QT) s wá trời điểm ạ

Làm biếng lắm

đm đéo lm thì đừng có mà cmt là lm biếng đéo bt lm nói mẹ luôn đi cho đỡ daì dòng AZUMA ạ

Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)

             \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

 \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.

Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y

Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)

\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)

\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)

Gọi OA là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}.\)Ta có: \(\widehat{CAO}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}.\)
Xet tam giác CAO và tam giác CBA:
Có: \(\widehat{C}\)là góc chung.
\(\widehat{CAO}=\widehat{CBA}.\)
Vậy tam giác CAO đồng dạng với tam giác CBA.
Ta có: \(\frac{CA}{CB}=\frac{CO}{CA}\Rightarrow CA^2=CB.CO\Leftrightarrow CO=\frac{CA^2}{CB}=\frac{8^2}{12}=\frac{16}{3}.\)
Vậy \(BO=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}.\)
Mặt khác AO là tia phân giác của góc A nên:

\(\frac{OC}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{16}{3}:\frac{20}{3}=\frac{4}{5}.\)
Vậy: \(AB=AC:\frac{4}{5}=12:\frac{4}{5}=15.\)

AB= 15 

Bài 1:

Ta có : \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\left(x^2-10\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2-1\right)\left(x^2-10\right)\right].\left[\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\right]< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-11x^2+10\right)\left(x^4-11x^2+28\right)< 0\)

Đặt \(y=x^4-11x^2+19\), ta có : \(\left(y-9\right)\left(y+9\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow y^2< 81\Leftrightarrow-9< y< 9\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y>-9\left(1\right)\\y< 9\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) được : \(x^4-11x^2+28>0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-7\right)\left(x^2-4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2>7\\x^2< 4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>\sqrt{7}\\x< -\sqrt{7}\end{cases}}\)hoặc  \(-2< x< 2\)

Giải (2) được : 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2< 1\\x^2>10\end{cases}}\)(loại)  hoặc \(1< x^2< 10\)(nhận)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2>1\\x^2< 10\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< -1\\x>1\end{cases}}\)và \(-\sqrt{10}< x< \sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}-\sqrt{10}< x< -1\\1< x< \sqrt{10}\end{cases}}\)

Kết hợp (1) và (2) : \(-2< x< -1\);;\(1< x< 2\); \(\sqrt{7}< x< \sqrt{10}\); \(-\sqrt{10}< x< -\sqrt{7}\)

Suy ra các giá trị nguyên của x là : \(x\in\left\{-3;3\right\}\)

Bài 1: 

Có: \(x^2-10< x^2-7< x^2-4< x^2-1\)

Để tích trên < 0

: \(\left(x^2-1\right);\left(x^2-4\right);\left(x^2-7\right)\)cùng dương và \(\left(x^2-10\right)\)âm

\(\Rightarrow x^2-10< 0\)và\(x^2-7>0\)

\(\Rightarrow x^2< 10\)và \(x^2>7\)

\(\Rightarrow7< x^2< 10\)

\(\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=+;-3\)