\(3\left(x^2-2x-xy\right)+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6x-3xy+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)-2x^2-6x-xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2\left(x^2+2x+1\right)-x-2-xy=0\)

Đến đây thì .....

Em thử nha, ko chắc:v

PT \(\Leftrightarrow3x^2-3x\left(2+y\right)+y^2=0\)

\(\Delta=\left[-3\left(2+y\right)\right]^2-12y^2=-3y^2+36y+36\)

\(\Leftrightarrow6-4\sqrt{3}\le y\le6+4\sqrt{3}\). Mà \(y\inℤ\) nên\(0\le y\le12\)

Rồi thay từng số y vào giải pt bậc 2 biến x. 

P/s: Em làm đúng ko ta?

Đặt \(u=\frac{bc}{a^2};v=\frac{ca}{b^2};w=\frac{ab}{c^2}\). BĐT quy về:

\(\frac{1}{\sqrt{8u+1}}+\frac{1}{\sqrt{8v+1}}+\frac{1}{\sqrt{8w+1}}\ge1\) với uvw = 1

Đặt \(\sqrt{8u+1}=x;\sqrt{8v+1}=y;\sqrt{8w+1}=z\)

Ta phải chứng minh \(xy+yz+zx\ge xyz\) (*) với \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)

Ta có: \(\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)=512\)

\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+x^2y^2z^2=513+\Sigma x^2y^2\)

(*) \(\Leftrightarrow\Sigma x^2y^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge x^2y^2z^2\)'

\(\Leftrightarrow\Sigma x^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge513\)

Và rất đơn giản bởi AM-GM, điều đó hiển nhiên đúng:

Có:\(\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)\ge729\sqrt[9]{u^8v^8w^8}=729\)

Nên  \(xyz=\sqrt{\left(8v+1\right)\left(8u+1\right)\left(8w+1\right)}\)

\(\ge\sqrt{729}=27\). Và \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3.9=27;a+b+c\ge9\)

P/s: Bài dài quá em chẳng muốn check lại. Có sai chỗ nào ko ta? Bài này lúc đầu em định uct nhưng ko ra.

Một BĐT mạnh (tổng quát) hơn!

Cho a, b, c > 0 và \(n\ge1\). Chứng minh:

\(\Sigma\frac{a^n}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge\frac{1}{3}\left(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}\right)\)

Đặt: \(\sqrt[3]{25-x^3}=t\Leftrightarrow t^3+x^3=25\Leftrightarrow\left(t+x\right)^3-3tx\left(t+x\right)=25\)(1)

pt trở thành: 

\(xt\left(x+t\right)=30\) Thế vào (1) ta có:

\(\left(t+x\right)^3-3.30=25\)

<=> \(t+x=\sqrt[3]{115}\)

=> \(xt=\frac{30}{\sqrt[3]{115}}\)

x, t là nghiệm của phương trình bậc 2:

 \(X^2-\sqrt[3]{115}X+\frac{30}{\sqrt[3]{115}}=0\)(1)

Đen ta <0 

=> Phương trình (1) vô nghiệm.

=> Không tồn tại x

Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

a. \(x\left(x^2+x+1\right)=4y\left(y+1\right)\)

<=> \(x^3+x^2+x+1=4y^2+4y+1\)

<=> \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=\left(2y+1\right)^2\)là một số chính phương lẻ

=> \(x+1;x^2+1\) là 2 số lẻ (1)

Chứng minh: \(\left(x+1;x^2+1\right)=1\)

Đặt: \(\left(x+1;x^2+1\right)=d\)

=> \(\hept{\begin{cases}x-1⋮d\\x^2+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-1⋮d\\x^2+1⋮d\end{cases}}}\)

=> \(\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)⋮d\)

=> \(2⋮d\)(2)

Từ (1) => d lẻ ( 3)

(2); (3) => d =1

Vậy  \(\left(x+1;x^2+1\right)=1\)

Có  \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) là số chính phương

Từ  2 điều trên => \(\left(x+1\right),\left(x^2+1\right)\) là 2 số chính phương

Mặt khác \(x^2\) là số chính phương

Do đó: x = 0

Khi đó: \(4y\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy phương trình có nghiệm ( x; y) là ( 0; 0) hoặc (0; -1)

\(VT=2\left(x^2-2.x.\frac{11}{4}+\frac{121}{16}\right)+\frac{47}{8}>0\)

=> \(VP>0\)=> x>1

pt <=> \(2\left(x^2-6x+9\right)=3\sqrt[3]{4x-4}-\left(x+3\right)\)

<=> \(2\left(x-3\right)^2=\frac{27\left(4x-4\right)-\left(x+3\right)^3}{9\sqrt[3]{\left(4x-4\right)^2}+3\left(x+3\right)\sqrt[3]{4x-4}+\left(x+3\right)^2}\)

<=> \(2\left(x-3\right)^2=\frac{-\left(x+15\right)\left(x-3\right)^2}{9\sqrt[3]{\left(4x-4\right)^2}+3\left(x+3\right)\sqrt[3]{4x-4}+\left(x+3\right)^2}\)

<=> \(\left(x-3\right)^2\left(2+\frac{x+15}{9\sqrt[3]{\left(4x-4\right)^2}+3\left(x+3\right)\sqrt[3]{4x-4}+\left(x+3\right)^2}\right)=0\)

x>1 => $\(2+\frac{x+15}{9\sqrt[3]{\left(4x-4\right)^2}+3\left(x+3\right)\sqrt[3]{4x-4}+\left(x+3\right)^2}>0\)

pT <=> \(\left(x-3\right)^2=0\)

<=> x=3

E cảm ơn

Bài này dễ mà bn lớp 5 còn làm đc :) e xin lỗi tí chứ e hc bài này òi :)

Vì khúc gỗ trôi tự do với vận tốc dòng nưosc là 2 giờ 15 phút 

Ta có :

=>gọi x là v thật của cano như vậy ta có: (x#0) thì vận tốc cano lúc đi là sẽ là x+4va v sẽ là x - 4 

T/g canô là (x#0) 40 /(x#4)

T/g cano AB là: 10/(x#)

Ta có p.t:

40/(x+10) + 2,25 = 32,25 (km)

Chú ý đổi xong òi đó 2 giờ 15 phút 

Đ.s:....................

>3

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x^2-x+2\ge0\\2x^2+4x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge0\\x\le-2\end{cases}}\)

Ta có: \(VP=2\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{2x^2+4x}=\frac{2\left(x-2\right)^2}{2\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+4x}}\ge0\)

=> \(VP=x-2\ge0\Rightarrow x\ge2\)

phương trình tương đương:

 \(2x-2\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+4x+2}-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-2\right)}{2x+2\sqrt{x^2-x+2}}+\frac{x^2-4}{\sqrt{2x^2+4x+2}+x+2}=0\)

\(\text{​​}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\frac{2}{2x+2\sqrt{x^2-x+2}}+\frac{x+2}{\sqrt{2x^2+4x+2}+x+2}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\\frac{2}{2x+2\sqrt{x^2-x+2}}+\frac{x+2}{\sqrt{2x^2+4x+2}+x+2}\end{cases}=0}\left(1\right)\)

(1) vô nghiệm vì x >=2 

Vậy pt <=> x=2

Thay \(z=x+y+1\) vào P ta có:

\(P=\frac{x^3y^3}{\left\{\left[x+y\left(x+y+1\right)\right]\left[y+x\left(x+y+1\right)\right]\left[xy+y+x+z\right]\right\}^2}\)

    \(=\frac{x^3y^3}{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)^2\right]^2}\)

Mà \(x+1\ge2\sqrt{x};y+1\ge2\sqrt{y};x+y\ge2\sqrt{xy}\)

=> \(P\le\frac{x^3y^3}{\left(2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.4xy\right)^2}=\frac{1}{256}\)

MaxP=1/256  khi \(a=b=1;c=3\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{5}\left(1\right)\\8x^2+6x+6xy+2y=\frac{114}{25}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow9x^2+6x+6xy+2y+y^2+1=\frac{114}{25}+\frac{1}{5}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(3x\right)^2+6x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2=\frac{144}{25}\)\(\Leftrightarrow\left(3x+y+1\right)^2=\frac{144}{25}\)

=>\(\hept{\begin{cases}3x+y+1=\frac{12}{5}\\3x+y+1=-\frac{12}{5}\end{cases}}\)\(\hept{\begin{cases}3x+y=\frac{7}{5}\\3x+y=-\frac{17}{5}\end{cases}}\)\(\hept{\begin{cases}y=\frac{7}{5}-3x\left(2\right)\\y=-\frac{17}{5}-3x\left(3\right)\end{cases}}\)

Thay (2) vào (1) ta có:\(x^2+\left(\frac{7}{5}-3x\right)^2=\frac{1}{5}\)\(\Rightarrow x^2+\frac{49}{25}-8,4x+9x^2-\frac{1}{5}=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{11}{25}\\x=0,4\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=5,68\\y=6,6\end{cases}}}\)

Thay (3) vào (1) ta giải được (LƯỜI GIẢI) sorry nha :))

P/s:Chỉ khó lúc biến đổi đầu thôi, còn lại bạn tự giải nha

Ai cha!!! Giải y sai rồi lúc cuối sửa lại dùm mình:: \(\hept{\begin{cases}y=\frac{2}{25}\\y=0,4\end{cases}}\)

Vậy đó, mình thích biến đổi hơn, Giải mấy cái dễ thì hay sai linh tinh lắm