Dịch: Tìm số nguyên tố p sao cho tồn tại số nguyên dương a; b sao cho \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)

Vì \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) => (a² + b²).p = a².b²   (*)  => a²b² chia hết cho p => a² chia hết cho p hoặc b² chia hết cho p

+) Nếu a² chia hết cho p ; p là số nguyên tố => a chia hết cho p => a² chia hết cho p² => a² = k.p² ( k nguyên dương)

Thay vào (*) ta được (a² + b²) . p = k.p².b² => a² + b² = kp.b² => a² + b² chia hết cho p => b² chia hết cho p 

=> b chia hết cho p

+) Khi đó, đặt a = m.p; b = n.p . thay vào \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\) ta được: \(\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2p^2}+\frac{1}{n^2p^2}\)

=> \(\frac{1}{p}=\frac{1}{p^2}\left(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\right)\)=> \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=p\)

+) Vì p là số nguyên tố nên p > 2 . mà a; b nguyên dương nên m; n nguyên dương => m; n > 1 => \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\le1+1=2\)

=> p = 2 và \(\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}=2\) => m = n = 1

Vậy p = 2 và a = b = 2

Lời giải bằng tiếng việt hay anh đây ?          

Kẻ EM ; FN vuông góc với AH

+)Tam giác EMA vuông tại M => góc MEA + EAM = 90^o

Mà góc BAH + EAM = 90^o (do góc BAE = 90^o) nên góc MEA = BAH

Xét tam giác vuông BAH  và AEM có: BA = AE; góc BAH = AEM 

=> tam giác BAH = AEM ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> EM  = AH  (1)

+) Tương tự, ta chứng minh tam giác vuông AHC = tam giác vuông FNA ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> AH = FN    (2)

Từ (1)(2) => EM = FN

+) EM // FN (vì cùng vuông góc với AH) => góc MEO = NFO ( SLT)

+) Xét tam giác vuông MEO và NFO có: MEO = NFO; ME = NF; góc EMO = FNO (=90^o)

=> tam giác MEO = tam giác  NFO ( g - c- g)

=> OE = OF => O là trung điểm của EF

phia cah vuong cua tam giac abc se la o trung 

Trên tia AM lấy điểm A’ sao cho  AM = MA’

Dễ chứng minh được ∆AMC = ∆A’MB ( g.c.g)

 A’B = AC ( = AE) và  góc MAC = góc MA’B

 AC // A’B => góc BAC + góc ABA’ = 180⁰ (cặp góc trong cùng phía)

Mà góc DAE + góc BAC = 180⁰ => góc DAE = góc ABA’

Xét  ∆DAE và ∆ABA’ có :  AE = A’B , AD = AB (gt)

góc DAE = góc ABA’ ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

 góc ADE = góc BAA’ mà góc HAD + góc BAA’ = 90⁰

=> góc MAD + góc ADE = 90⁰. Suy ra  MA vuông góc với DE

+) Lấy N đối xứng với A qua M

Tam giác AMC = tam giác NMB ( AM = MN; góc AMC = NMB ; MC = MB)

=> góc MBN = ACM => góc ABN = ABM + MBN = ABM + ACM = 180^o - BAC 

Mặt khác, vì DAB = EAC = 90^o nên góc DAE = 180^o - BAC 

=> góc ABN = DAE

kết hợp với AD = AB; AN = AE (- AC) => tam giác ADE = ABN (c - g - c)

=> góc ADE = BAM ( 2 góc tương ứng)

Có góc AKD = 180^o - (ADE + DAK) = 180^o - (BAM + DAK) = 180^o - 90^o = 90^o

=> AK | DE 

Vậy...

Theo đề bài a+b²⋮a²b−1
\(\Rightarrow\) ∃ k∈ N* : a+b2=k(a2b−1)
\(\Leftrightarrow\) a+k=b(ka2−b)
Đặt m=ka²−b (m\(\in\)Z) thì ta được a+k=mb
Mặt khác do a,k,b \(\in\) N* nên cho ta m\(\in\)N*
Từ đó ta có:
(m−1)(b−1)=mb−m−b+1=a+k−ka²+1=(a+1)(k−ka+1)
Vì m,b ∈ N* nên (m−1)(b−1) ≥ 0
\(\Rightarrow\) (a+1)(k−ka+1) ≥ 0 \(\Rightarrow\) (k−ka+1)≥  0
\(\Rightarrow\) 1 ≥ k(a−1)
Lúc này vì k,a ∈ N* nên a−1 ≥ 0. Suy ra chỉ có thể xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: k(a−1)=0 ⇒ a−1=0 hay a=1
Thay a=1 vào đẳng thức (m−1)(b−1)=(a+1)(k−ka+1) ta được
(m−1)(b−1)=2 ⇒ b−1=1∨b−1=2 ⇒ b=2∨b=3

Trường hợp 2: k(a−1)=1 ⇒ k=a−1=1 hay k=1∧a=2
Thay k=1 và a=2 vào đẳng thức (m−1)(b−1)=(a+1)(k−ka+1) ta được
(m−1)(b−1)=0 ⇒ m−1=0∨b−1=0 ⇒ m=1∨b=1
Nếu như m=1 thì từ đẳng thức a+k=mb cho ta b=3

Vậy có 4 cặp số nguyên dương (a,b) thỏa yêu cầu bài toán là (1,2);(1,3);(2,1);(2,3) 

lớp 9 sao ghi lớp 6 @@ thế thì thui ko làm nữa !      

Kí hiệu: P là chu vi đường tròn

+) Do A và B đối tâm ( Tức AB là đường kính của đường tròn) nên sau lần gặp đầu tiên, Tổng quãng đường mà A và B đi được là nửa đường tròn 

Gọi t₁ là thời gian B đến C   => t₁ = \(\frac{\frac{P}{2}}{v_A+v_B}=\frac{P}{2\left(v_A+v_B\right)}\)(1)

+) Tính từ lần gặp đầu tiên đến lần gặp thứ hai, Tổng quãng đường mà A và B đi được là cả đường tròn đó

Gọi t₂ là thời gian B đi từ C đến D ( tức là tính từ lúc họ gặp nhau lần 1 đến lần gặp thứ 2)  => t₂ = \(\frac{P}{v_A+v_B}\)(2)

Từ (1)(2) => t₂ = 2.t₁

Do vận tốc của B không đổi nên quãng đường B đi trong thời gian t₂ gấp 2 lần quãng đường B đi trong thời gian t₁

=> CD gấp 2 lần BC Mà  BC = 100 m 

=> CD = 200 m

Ta lại có: Lần thứ hai gặp nhau A còn 60 m nữa thì hoàn tất 1 vòng nên AD = 60 m

=> AC = 200 - 60 = 140 m

=> AB = AC + CB = 140 + 100 = 240 m

=> Chu vi đường tròn là 2.AB = 2.240 = 480 m

Bài này xứng đáng vào câu hỏi hay !       

Kẻ Bz // Az// Cy

Ta có: A+B+C=360 => A+B1=180; C+B2=180.

=> Ax//Cy

a) 0,4(3) = \(\frac{4,\left(3\right)}{10}=\frac{4+\frac{1}{3}}{10}=\frac{13}{30}\); 0,6(2) = \(\frac{6,\left(2\right)}{10}=\frac{6+\frac{2}{9}}{10}=\frac{56}{90}=\frac{28}{45}\); 0,5(8) = \(\frac{5,\left(8\right)}{10}=\frac{5+\frac{8}{9}}{10}=\frac{53}{90}\)

Vậy A  = \(\frac{13}{30}+\frac{28}{45}.\frac{5}{2}-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{53}{90}}:\frac{2700}{53}\) = \(\frac{13}{30}+\frac{14}{9}-\frac{5}{6}.\frac{90}{53}.\frac{53}{2700}=\frac{13}{30}+\frac{14}{9}-\frac{1}{36}=\frac{353}{180}\)

b) 0,(5) = 5/9; 0,(2) = 2/9

B = \(\left(\frac{5}{9}.\frac{2}{9}\right):\left(\frac{10}{3}.\frac{25}{33}\right)-\left(\frac{2}{5}.\frac{4}{3}\right):\frac{4}{3}\)

B = \(\frac{10}{81}.\frac{3.33}{10.25}-\frac{2}{5}=\frac{11}{225}-\frac{2}{5}=-\frac{79}{225}\)

a)353/180

b)-79/225

Gọi số đó là: ab ( a; b là chữ số ; a khác 0)

Theo bài cho:

ab = a³ + b² 

Vì ab < 100 => a³ + b² < 100 => a³ < 100 => a < 5 (Vì 4³ = 64 < 100; 5³ = 125 > 100)

a khác 0 nên a = 1 ; 2; 3 hoặc 4

+) Nếu a = 1 thì 1b = 1 + b² => 10 + b = 1 + b² => 9 = b² - b = b(b - 1); b là chữ số : Không có số b nào thỏa mãn

+) Nếu a = 2 thì 2b = 8 + b² => 20 + b = 8 + b² => 12 + b = b² => 12 = b² - b = b(b - 1) ; 12 = 4.3 => b = 4  (chọn)

+) Nếu a = 3 thì 3b = 27 + b² => 30 + b = 27 + b² => 3 = b(b - 1) (Loại)

+) Nếu a = 4 thì 4b = 64 + b² => 40 + b = 64 + b² => b = 24 + b² (Vô lý , vì b² > b) => Loại

Vậy số đó là 24

Ghi thếu đề là ab là số nguyên dương

Thưa cố em còn cách khác

ab=a³+b³

=>10a+b=a³+b³

=>a(10-a²)=b(b-1)

Vì ab là số dương

=>10-a² là số dương

=>a²<10

=>a=1;2;3 loại =0 vì không có nghĩa

=>thử từng TH

=>a=2

=>b(b-1)=6

=>b=4

Vậy ab=24

*) Ta chứng minh bất đẳng thức: |x| + |y| \(\ge\) |x+ y|

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:  

- |x | \(\le\) x \(\le\) |x|

- |y| \(\le\) y \(\le\) |y|

Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có: - |x| - |y| \(\le\) x+ y \(\le\) |x| + |y| => - (|x| + |y|) \(\le\) x+ y \(\le\) |x| + |y|

=> |x + y | \(\le\) |x| + |y|. Dấu "=" xảy ra <=> x; y cùng dấu

*) Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: |x| + |y| + |z| \(\ge\) |x+ y| + |z| \(\ge\) |x+ y + z|

=> |x|+ |y| + |z| + |t| \(\ge\) |x+ y + z| + |t| \(\ge\) |x+ y + z+ t|

Dấu "=" xảy ra <=> xy \(\ge\)0; (x+ y)z \(\ge\) 0 ; (x+ y + z)t \(\ge\) 0 => x; y; z; t cùng \(\ge\) 0 hoặc x; y ; z; t  \(\le\) 0 

Áp dụng vào bài tập ta có 

A = |x - a| + |x - b| + |c - x| + |d - x|  \(\ge\) |(x - a) + (x - b) + (c - x) + (d - x)| = |c+ d - a - b| = c+ d- a- b ( do a < b < c< d nên c - a > 0 và d - b > 0)

Dấu "=' xảy ra <=> x - a ;x - b; c - x; d - x đều \(\ge\) 0; hoặc x - a; x - b ; c - x; d - x  đều  \(\le\) 0

Nếu  x - a ;x - b; c - x; d - x đều \(\ge\) 0 thì b \(\le\) x \(\le\) c

Nếu  x - a; x - b ; c - x; d - x  đều  \(\le\) 0 : không có x thỏa mãn

Vậy A nhỏ nhất bằng c+ d - a - b tại các giá trị của x thỏa mãn  b \(\le\) x \(\le\) c 

cô Loan làm đúng rồi !