ĐK : a + 1 \(\ge0\Rightarrow a\ge-1\)

Khi đó |a + 1| = a + 1

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+1=a+1\\a+1=-a-1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}0a=0\\2a=-2\end{cases}}\)

Khi 0a = 0

=> a thỏa mãn \(\forall a\ge-1\)

Khi 2a = -2 

=> a  = -1 (tm)

Vậy a \(\ge\)-1 là giá trị cần tìm 

b) ĐK 3 - a \(\ge0\Rightarrow a\le3\)

Khi đó |a - 3| = 3 - a 

<=> \(\orbr{\begin{cases}a-3=3-a\\a-3=-3+a\end{cases}}\)

Khi a - 3 = 3 - a 

=> 2a = 6

=> a = 3 (tm)

Khi a - 3 = - 3 + a

=> 0a =0

=> a thỏa mãn \(\forall a\le3\)

Vậy \(a\le3\)là giá trị cần tìm

Đề bạn rối sao ý, mình chỉnh như này không biết có đúng không nhưng mình sẽ làm theo đề mình đưa ra:

Cho (O) và điểm A ∉ (O) sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB với (O), BH là đường cao của △ABO, BH cắt (O) tại C.

*Hình:

Bài làm

a) Xét đường tròn tâm O có:

CB là dây cung

OA vuông góc với CB tại H

=> H là trung điểm CB (Tính chất đường cao với dây cung)

Xét tam giác ABC có:

AH là đường cao

AH là trung tuyến (Do H là trung điểm CB)

=> Tam giác ABC cân tại A

=> AB  = AC

Xét tam giác OCA và tam giác OBA có:

AC = AB (Chứng minh trên)

OA chung

OC = OB (bằng R)

=> Tam giác OCA = tam giác OBA (c.c.c)

=> \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}\)

Mà \(\widehat{ABO}=90^0\)

=> \(\widehat{ACO}=90^0\)

Và C thuộc (O)

=> AC là tiếp tuyến của (O)

b) Kẻ KE vuông góc với OA cắt (O) tại E.

Vì A là giao điểm của hai đường tiếp tuyến AB và AC

=> AO là phân giác của góc AOB

Xét tam giác KAE có:

AO là phân giác của góc AOB

AO vuông góc với KE

=> Tam giác KAE cân tại A

=> AK = AE (1)

=> AO là trung tuyến

Gọi giao điểm của AO và KE là G

=> KG = GE

Xét tam giác KGO và tam giác EGA có:

\(\widehat{OKG}=\widehat{GEA}\)(Là hai góc so le trong do OK // AB vì cùng vuông góc với OB.)

KG = GE (Chứng minh trên)

\(\widehat{KGO}=\widehat{EGA}\)(đối)

=> Tam giác KGO = tam giác EGA (g.c.g)

=> OK = AE (2)

Từ (1) và (2) => KA = KO

Từ từ để mình nghĩ nốt c với d

Bài làm

Bài 3

a) \(A=\left(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\cdot\left(\frac{x+2}{2x-4}+\frac{2-3x}{x^3-4x}\cdot\frac{x^2-4}{x-2}\right)\)

\(A=\left(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\cdot\left(\frac{x+2}{2\left(x-2\right)}+\frac{2-3x}{x\left(x^2-4\right)}\cdot\frac{x^2-4}{x-2}\right)\)

\(A=\left(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\cdot\left(\frac{x+2}{2\left(x-2\right)}+\frac{2-3x}{x\left(x-2\right)}\right)\)

\(A=\left(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\cdot\left(\frac{x\left(x+2\right)}{2x\left(x-2\right)}+\frac{2\left(2-3x\right)}{2x\left(x-2\right)}\right)\)

\(A=\left(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\cdot\frac{x^2+2x+4-6x}{2x\left(x-2\right)}\)

\(A=\left(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\cdot\frac{x^2-4x+4}{2x\left(x-2\right)}\)

\(A=\left(\frac{x^4-4x^2}{x^2-4}+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\cdot\frac{\left(x-2\right)^2}{2x\left(x-2\right)}\)

\(A=\frac{x^4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\frac{x-2}{2x}\)

\(A=\frac{x^3}{2\left(x+2\right)}\)

Vậy \(A=\frac{x^3}{2\left(x+2\right)}\)

b) Ta có: \(\left|2x-1\right|=3\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x-1=3\\2x-1=-3\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}2x=4\\2x=-2\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)

*) Với x = 2 thì ta thay x = 2 vào A ta được:

\(A=\frac{2^3}{2\left(2+2\right)}=\frac{8}{8}=1\)

Vậy với x = 2 thì A = 1

*) Với x = -1 thì ta thay x = -2 vào ta, ta được:

\(A=\frac{\left(-1\right)^3}{2\left(-1+2\right)}=\frac{-1}{2}\)

Vậy với x = -1 thì x = -1/2

Bài 2:

a) \(A=\left(\frac{x+2}{x^2+2x+1}-\frac{x-2}{x^2-1}\right):\frac{2x^2+x}{x^3+x^2-x-1}\)

\(A=\left(\frac{x+2}{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x-2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right):\frac{2x^2+x}{x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)}\)

\(A=\left(\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}-\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\frac{2x^2+x}{\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(A=\left(\frac{x^2+2x-x-2}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)}-\frac{x^2+x-2x-2}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)}\right)\cdot\frac{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)}{x\left(2x+1\right)}\)

\(A=\frac{x^2+2x-x-2-x^2-x+2x+2}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)}\cdot\frac{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)}{x\left(2x+1\right)}\)

\(A=4x-2x\cdot\frac{1}{x\left(2x+1\right)}\)

\(A=\frac{2x\left(2-1\right)}{x\left(2x+1\right)}\)

\(A=\frac{4-2}{2x+1}\)

\(A=\frac{2}{2x+1}\)

Để A xác định

<=> 2x + 1 khác 0

<=> 2x khác -1

<=> x khác -1/2

Vậy x khác -1/2 thì A xác định.

b) Thay x = -3 vào A ta được:

\(A=\frac{2}{2\left(-3\right)+1}=\frac{2}{-6+1}=\frac{2}{-5}\)

Vậy x = -3 thì A = 2/-5

Thay x = 1/4 vào A ta được

\(A=\frac{2}{2\cdot\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=2:\frac{3}{2}=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\)

Vậy x = 1/4 thì A = 4/3

Vì x = -1/2 (Không thỏa mãn điều kiện)

Do đó với x = -1/2 thì A không xác định.

c) Để |A| = 3

<=> \(\left|\frac{2}{2x+1}\right|=3\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{2}{2x+1}=3\\\frac{2}{2x+1}=-3\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+3=2\\-6x-3=2\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}6x=-1\\-6x=5\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{6}\\x=-\frac{5}{6}\end{cases}}}\)

Vậy x = -1/6 hoặc x = -5/6 thì |A| = 3

\(A=\left(x^2+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\left(\frac{x+2}{2x-4}+\frac{2-3x}{x^3-4}.\frac{x^2-4}{x-2}\right)\)

\(=\left(\frac{x^2\left(x^2-4\right)}{x^2-4}+\frac{4x^2}{x^2-4}\right)\left(\frac{x+2}{2\left(x-2\right)}+\frac{\left(2-3x\right)\left(x^2-4\right)}{x\left(x^2-4\right)\left(x-2\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{x^2\left(x^2-4\right)+4x^2}{x^2-4}\right)\left(\frac{x+2}{2\left(x-2\right)}+\frac{2-3x}{x\left(x-2\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{x^4-4x^2+4x^2}{x^2-4}\right)\left(\frac{x\left(x+2\right)}{2x\left(x-2\right)}+\frac{2\left(2-3x\right)}{2x\left(x-2\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{x^4}{x^2-4}\right)\left(\frac{x^2+2x+4-6x}{2x\left(x-2\right)}\right)=\left(\frac{x^4}{x^2-4}\right)\left(\frac{x^2-4x+4}{2x\left(x-2\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{x^4}{x^2-4}\right)\left(\frac{\left(x-2\right)^2}{2x\left(x-2\right)}\right)=\left(\frac{x^4}{x^2-4}\right)\left(\frac{x-2}{2x}\right)=\frac{x^4.\left(x-2\right)}{\left(x^2-4\right)2x}\)

\(=\frac{x^4\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)2x}=\frac{x^3}{2\left(x+2\right)}\)

b,Ta có:\(\left|2x-1\right|=3\)

\(\Leftrightarrow2x-1=\pm3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=3\\2x-1=-3\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}}\)

Với x=2 thì giá trị của A là:\(\frac{2^3}{2\left(2+2\right)}=1\)

Với x=-1 thì giá trị biểu thức là:\(\frac{\left(-1\right)^3}{-2\left(-1+2\right)}=-\frac{1}{2}\)

\(\hept{\begin{cases}xy\left(4xy+y+4\right)=y^2\left(2y+5\right)-1\\2xy\left(x-2y\right)+x-14y=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy+1\right)^2+y^2\left(x-2y\right)=5y^2\left(1\right)\\\left(x-2y\right)\left(2xy+1\right)=12y\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét: y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình

Xét: \(y\ne0\) chia hai vế phương trình (1) cho \(y^2\); chia hai vế phương trình (2) cho y được

\(\hept{\begin{cases}\left(2x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(x-2y\right)=5\\\left(x-2y\right)\left(2x+\frac{1}{y}\right)=12\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=2x+\frac{1}{y}\\b=x-2y\end{cases}}\) có hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b=5\\ab=12\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-4\end{cases}}}\) hay \(\hept{\begin{cases}2x+\frac{1}{y}=-3\\x-2y=-4\end{cases}}\)

Giải hệ phương trình (tự làm nốt) được nghiệm \(\left(-2;1\right)\) và \(\left(-\frac{7}{2};\frac{1}{4}\right)\)

Mình vẽ tạm trên Paint vì không biết vẽ nửa đường tròn trên đây nha '-'

Bài làm

a) Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và Ax

=> OM là phân giác 

=> \(\widehat{O_2}=\widehat{O_3}\Rightarrow2\widehat{O_2}=\widehat{HOA}\)   

Vì N là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và By

=> ON là phân giác

=> \(\widehat{O_1}=\widehat{O_4}\Rightarrow2\widehat{O_1}=\widehat{HOB}\)

Ta có: \(\widehat{HOA}+\widehat{HOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

hay \(2\widehat{O_1}+2\widehat{O_2}=180^0\)

=> \(2\left(\widehat{O_1}+\widehat{O_2}\right)=180^0\)

=> \(\widehat{MON}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

Vậy \(\widehat{MON}=90^0\)

b)  Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và Ax

=> AM = MH ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì N là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và By

=> NB = NH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: MN = MH + NH

hay MN = AM + BN (đpcm)

c) Xét tam giác MON vuông tại O có:

OH là đường cao

Theo quan hệ giữa cạnh và đường cao

=> OH² = MH . NH

hay R² = MA . BN

Vậy AM . BN = R²