Phân tích đa thức thành nhân tử \(a^3\left(c-b^2\right)+b^3\left(a-c^2\right)+c^3\left(b-a^2\right)+abc\left(abc-1\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có: \(\frac{a^2}{1-a}=\frac{a^2-1+1}{1-a}=\frac{a^2-1}{1-a}+\frac{1}{1-a}=-\left(a+1\right)+\frac{1}{1-a}\)
Suy ra:
\(\frac{a^2}{1-a}+\frac{b^2}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b\)
\(=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}+a+b-a-1-b-1\)
\(=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}-2\).
Áp dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{1-a+1-b+a+b}=\frac{9}{2}\).
Suy ra: \(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{a+b}-2\ge\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}.\)
Vậy ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}4k\equiv-1\left(modp\right)\\4k-1\equiv-2\left(modp\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(4k\right)!\equiv\left[\left(2k\right)!\right]^2\left(modp\right)\)
Theo định lý Wilson kết hợp với định lý Fecma nhỏ ta có:
Với \(n=4k\left(2k\right)!\) thì:
\(2^n-1\left[2^{\left(2k\right)!}\right]^{4k}-1\equiv0\left(modp\right)\)
\(\Rightarrow n^2+2^n=\left[4k.\left(2k\right)!\right]^2+2^{4k\left(2k\right)!}\equiv0\left(modp\right)\)
\(\Rightarrow\) Có vô số giá trị của \(n\) thỏa mãn.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
hãy đổi các lũy thừa và xét từng số một trong biểu thức để xem nó có phải là hợp số hay không và kết luận
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=x^3-3x^2+3x-1\\ A=x^3-3x^2.1+3x.1^2-1^3\\ A=\left(x-1\right)^3\)
Thay x=101 vào biểu thức trên ta được kết quả là 100^3= 1000000
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(x^99+x^11)+(x^55+x)+7 =x^11(x^88+1)+x(x^54+1)+7 =x^11(x^22+1) (x^66-x^44+x^22-1) + x(x^54+1)+7 = A+7 mà ta có:
a^n+1=(a+1)(a^(n-1)-a^(n-2)+.....-1) (với n là lẻ) vậy a^n+1 chia hết cho a+1 với a lsf x^2,n lần lượt là 11 và 27=>A chia hết cho x^2+1 Xét 7(x^2+1) dư b nếu x=0 thì b=0 x=+ -1 thì b=1 x=+ -2 thì b=2 x>2 thì b=7 đó cũng là số dư của A+7 chia cho x^2+1. và là số dư cần tìm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) DE là đường trung bình tam giác ABC=>DE//AB và DE=\(\frac{1}{2}\)AB
DE là đường trung bình tam giác OGH=>DE//GH và DE=\(\frac{1}{2}\)GH
=> AB//GH và AB=GH => AHGB là hình bình hành => AG và BH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
CM tương tự: AIGC là hình bình bình hành => AG,IC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
IBCH là hình bình hành => IC,BH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=> AG,BH,CI đồng quy.
b) K trung điểm AG => OK là trung tuyến tam giác AGO
Mà AD là trung tuyến tam giác AGO ( DG=DO do đối xứng tâm )
=> Giao điểm J của hai đường là trọng tâm tam giác AGO
=> JD =\(\frac{1}{3}\)AD
Mà AD là trung tuyến tam giác ABC
=> J là trọng tâm tam giác ABC
Vậy OK luôn đi qua điểm cố định là trọng tâm tam giác ABC.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề đúng phải là chứng minh hai điểm P và P2 đối xứng với nhau qua O nhé, còn P1 và P2 đối xứng nhau qua trục d2
Gọi A và B lần lượt là các điểm mà P đối xứng với P1 qua qua d1 , P1 đối xứng P2 qua d2
Để chứng minh P và P2 đối xứng với nhau qua O , ta chỉ cần chứng minh OP = OP2 và P,O,P2 thẳng hàng.
Xét hai tam giác vuông : Tam giác PAO và tam giác OBP2 có OB = PA (Vì PA = AP1 , AOP1B là hình chữ nhật)
góc POA = góc OP2B (đồng vị) => tam giác OBP2 = tam giác PAO => OP = OP2 (1)
góc OP2B = góc PAO mà góc OP2B + góc BOP2 = 90 độ => góc PAO + góc BOP2 = 90 độ
=> Góc POP2 = góc BOP2 + góc AOB + góc PAO = 90 độ + 90 độ = 180 độ
=> Ba điểm P,O,P2 thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
MO vuông góc d1 ,P1P vuông góc d1 (vì P1,P đối xứng qua d1) nên MO // P1P => góc O1 = góc P (2 góc đồng vị)
Tam giác ONP vuông tại N nên góc O2 + góc P = 900 => góc O2 + góc O1 = 900 mà góc O3 = 900 (d1 vuông góc d2)
=> góc P2OP = góc O1 + góc O2 + góc O3 = 900 + 900 = 1800 => P2,O,P thẳng hàng (1)
OP1 = OP2 (P1,P2 đối xứng qua d2 hay d2 là trung trực P1P2) ; OP1 = OP (P,P1 đối xứng qua d1 hay d1 là trung trực PP1)
=> OP2 = OP (2) .Từ (1) và (2),ta có O là trung điểm của PP2 hay P1,P2 đối xứng qua O.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(t=x^2+5xy+5y^2\) ta đc:
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(=t^2-y^4+y^4\)
\(=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y,z\in Z\) nên \(x^2\in Z;5xy\in Z;5y^2\in Z\)
\(\Rightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
Đpcm
a3(c - b2) + b3(a - c2) + c3(b - a2) + abc(abc - 1)
= a3c - a3b2 + ab3 - b3c2 + bc3 - a2c3 + a2b2c2 - abc
= a2b2c2 - b3c2 - (a2c3 - bc3) - (a3b2 - ab3) + (a3c - abc)
= b2c2(a2 - b) - c3(a2 - b) - ab2(a2 - b) + ac(a2 - b)
= (a2 - b)(b2c2 - c3 - ab2 + ac) = (a2 - b)[c2(b2 - c) - a(b2 - c)] = (a2 - b)(b2 - c)(c2 - a)