Bài toán 47

Đáp án

Chia hình vuông thành 8 hình tam giác bằng nhau như hình vẽ trên. Dễ thấy diện tích hình vuông bên trong bằng tổng diện tích của tam giác 2, 4, 6,8 và bằng nửa diện tích hình vuông ngoài.

Vậy diện tích hình vuông to ngoài cùng là 1 m², hình vuông thứ hai là \(\frac{1}{2}\) m², hình vuông thứ ba là \(\frac{1}{4}\) m²,  hình vuông thứ tư là \(\frac{1}{8}\) m², . . .

Tổng diện tích các hình vuông là:

      S = 1 + \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\)+ \(\frac{1}{8}\)+ \(\frac{1}{16}\)+ \(\frac{1}{32}\) ... (mẫu phân số sau bằng mẫu phân số trước nhân với 2)

      S = 1 + ( \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\)+ \(\frac{1}{8}\)+ \(\frac{1}{16}\)+ \(\frac{1}{32}\) ... )

      S = 1 +  \(\frac{1}{2}\)x(1 + \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\)+ \(\frac{1}{8}\)+ \(\frac{1}{16}\)+ ... )

Biểu thức trong ngoặc (1 + \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\)+ \(\frac{1}{8}\)+ \(\frac{1}{16}\)+ ...,) cũng chính là tổng S.

Vậy ta có: 

     S = 1 + \(\frac{1}{2}\)x S

=> S - \(\frac{1}{2}\)x S = 1

     (1 - \(\frac{1}{2}\)) x S = 1

      \(\frac{1}{2}\)x S = 1

            S = 2

Vậy tổng diện tích vô hạn các hình vuông lồng nhau là S = 2 m².

ĐS: 2 m².

------------------

Cách 2: Tính tổng S =  1 + \(\frac{1}{2}\)+ \(\frac{1}{4}\)+ \(\frac{1}{8}\)+ \(\frac{1}{16}\)+ \(\frac{1}{32}\) ... 

Ta có: \(\frac{1}{2}\)= 1 - \(\frac{1}{2}\)

         \(\frac{1}{4}\)= \(\frac{1}{2}\)- \(\frac{1}{4}\)

         \(\frac{1}{8}\)=\(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{8}\)

         \(\frac{1}{16}\)= \(\frac{1}{8}\)- \(\frac{1}{16}\)

           . . . . 

Vậy:  S = 1 + (1 - \(\frac{1}{2}\)) + (\(\frac{1}{2}\)- \(\frac{1}{4}\))+(\(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{8}\)) + (\(\frac{1}{8}\)- \(\frac{1}{16}\)) + (\(\frac{1}{16}\)- \(\frac{1}{32}\)) + ...

         S = 1 + 1 - \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)- \(\frac{1}{4}\)+\(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{8}\)- \(\frac{1}{16}\) + \(\frac{1}{16}\)- \(\frac{1}{32}\) + ...

         S = 2