Bài toán 307

Ký hiệu số quả táo có trong mỗi túi lần lượt là \(t_1,t_2,t_3,...,t_{49},t_{50}.\) \(\left(1\le t_i\le50;1\le i\le50\right)\)

Ta có: \(t_1+t_2+...+t_{49}+t_{50}=100.\)

+ TH1: \(t_i=2\) với mọi \(i\left(1\le i\le50\right)\).

Khi ta đó chia 50 túi thành 2 nhóm, mỗi nhóm 25 túi. Khi đó mỗi nhóm sẽ có 50 quả.

+ TH2: Tồn tại hai số \(i,\) \(j\) \(\left(1\le i,j\le50\right)\) sao cho \(t_i\ne t_j.\)

Giả sử hai số khác nhau là \(t_1\) và \(t_2\), ta sẽ xét  51 số sau:

\(t_1;t_2;t_1+t_2;t_1+t_2+t_3;...;t_1+t_2+...+t_{50}.\)

Thấy ngay rằng 51 số trên đều khác nhau và mỗi số đều trong khoảng từ 1
tới 100.

Thế thì có 2 số có cùng số dư khi chia cho 50 hay hiệu của hai số đó đúng bằng 50. 

Hai số đó không thể là \(t_1\) và \(t_2\) vì hiệu hai số này không thể là 50 (do điều kiện).

Vậy trong 2 số đó có ít nhất một số mới, suy ra hiệu của chúng là tổng một số các \(t_i\), và chúng tạo thành một nhóm có tổng đúng bằng 50.

Vậy nếu không có túi nào có nhiều hơn 50 quả thì có thể chia thành hai nhóm, mỗi nhóm có 50 quả.