Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Bài toán 132

Chứng minh rằng \(n^2+11n+2\)không chia hết cho 12769 với mọi số nguyên n.

------------

Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 16/12/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 16/12/2016.

------------

Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải đúng và sớm nhất; Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.

Nguyễn Ngọc Minh

Nguyễn Thị Thùy Dương

Hoàng Ngọc Bảo Khuê

ngonhuminh

Cao Thương Huyền

-----------

Đáp án: 

Trước hết, ta thấy rằng 12769 = 1132, hơn nữa 113 là một số nguyên tố. Mọi số nguyên chia hết cho 1132 thì đều chia hết cho 113.

Ta chứng minh rằng, với n là một số nguyên, n2 + 11n + 2 chia hết cho 113 nhưng nó không chia hết cho 1132.

Cách 1: Ta có \(n^2+11n+2=\left(n-51\right)\left(n+62\right)+3164\)

                                                 \(=\left(n-51\right)\left(n+62\right)+28\times113\)

Nếu n2 + 11n + 2 chia hết cho 1132 thì nó chia hết cho 113, bởi vậy \(\left(n-51\right)\left(n+62\right)\)  chia hết cho 113.

Do 113 là số nguyên tố nên (n - 51) hoặc (n + 62) hoặc cả hai chia hết cho 113. Lại thấy (n + 62) - (n - 51) = 113 nên cả n + 62 và n - 51 đều chia hết cho 113. Vậy thì (n - 51)(n + 62) chia hết cho 1132.

Ta có n2 + 11n + 2 chia hết cho 1132 ; (n - 51)(n + 62) cũng chia hết cho 1132 mà \(n^2+11n+2=\left(n-51\right)\left(n+62\right)+28\times113\)   nên 28.113 chia hết cho 113(Vô lý)

Vậy  n2 + 11n + 2 không chia hết cho 1132 với mọi số nguyên n.

Cách 2: Bài giải của bạn Nguyễn Ngọc Minh :

Ta thấy : 12769 = 113 x 113

Giả sử A = n2 + 11n + 2 chia hết cho 12769

=> 4A = 4 (n2+ 11n + 2 ) chia hết cho 12769

     4A = 4n2 + 44n + 8 chia hết cho 12769

     4A = [ (2n)2+ 2 x 2n x 11 + 121 ] - 113 chia hết cho 12769

=> 4A = (2n+11)- 113 chia hết cho 12769 (1). 

Vậy thì 4A = (2n+11)- 113 chia hết cho 113.

=> (2n+1)2 chia hết cho 113 ( vì 113 chia hết cho 113 )

=> 2n + 1 chia hết cho 113 ( vì 113 là số nguyên tố )

=> (2n+1)2 chia hết cho 1132 = 12769 (2)

Từ (1) và (2) => 113 chia hết cho 12769 ( Vô lí )

Vậy n2 + 11n + 2 không chia hết cho 12769 với mọi số nguyên n.

Cách 3: Bài làm của bạn Nguyễn Thị Thùy Dương:

Giả sử  n2 + 11n + 2 chia hết cho 113 thì tồn tại số nguyên m để  n2 + 11n + 2 = 1132.m (m chẵn) hay phương trình \(n^2+11n-113^2.m+2=0\)có nghiệm nguyên.

Tuy nhiên \(\Delta=11^2-4\left(2-113^2.m\right)=4.113^2.m+113=113\left(4.113.m+1\right)\) không thể là số chính phương.

Khi đó \(n=\frac{-11+\sqrt{\Delta}}{2};n=\frac{-11-\sqrt{\Delta}}{2}\) không thể là các số nguyên.

Vậy  n2 + 11n + 2 không chia hết cho 113 với mọi số nguyên n.


Bạn phải đăng nhập để tham gia bình luận.
316 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức: