Chứng minh rằng \(n^2+11n+2\)không chia hết cho 12769 với mọi số nguyên n.
------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 16/12/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 16/12/2016.
------------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải đúng và sớm nhất; Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
-----------
Đáp án:
Trước hết, ta thấy rằng 12769 = 1132, hơn nữa 113 là một số nguyên tố. Mọi số nguyên chia hết cho 1132 thì đều chia hết cho 113.
Ta chứng minh rằng, với n là một số nguyên, n2 + 11n + 2 chia hết cho 113 nhưng nó không chia hết cho 1132.
Cách 1: Ta có \(n^2+11n+2=\left(n-51\right)\left(n+62\right)+3164\)
\(=\left(n-51\right)\left(n+62\right)+28\times113\)
Nếu n2 + 11n + 2 chia hết cho 1132 thì nó chia hết cho 113, bởi vậy \(\left(n-51\right)\left(n+62\right)\) chia hết cho 113.
Do 113 là số nguyên tố nên (n - 51) hoặc (n + 62) hoặc cả hai chia hết cho 113. Lại thấy (n + 62) - (n - 51) = 113 nên cả n + 62 và n - 51 đều chia hết cho 113. Vậy thì (n - 51)(n + 62) chia hết cho 1132.
Ta có n2 + 11n + 2 chia hết cho 1132 ; (n - 51)(n + 62) cũng chia hết cho 1132 mà \(n^2+11n+2=\left(n-51\right)\left(n+62\right)+28\times113\) nên 28.113 chia hết cho 1132 (Vô lý)
Vậy n2 + 11n + 2 không chia hết cho 1132 với mọi số nguyên n.
Cách 2: Bài giải của bạn Nguyễn Ngọc Minh :
Ta thấy : 12769 = 113 x 113
Giả sử A = n2 + 11n + 2 chia hết cho 12769
=> 4A = 4 (n2+ 11n + 2 ) chia hết cho 12769
4A = 4n2 + 44n + 8 chia hết cho 12769
4A = [ (2n)2+ 2 x 2n x 11 + 121 ] - 113 chia hết cho 12769
=> 4A = (2n+11)2 - 113 chia hết cho 12769 (1).
Vậy thì 4A = (2n+11)2 - 113 chia hết cho 113.
=> (2n+1)2 chia hết cho 113 ( vì 113 chia hết cho 113 )
=> 2n + 1 chia hết cho 113 ( vì 113 là số nguyên tố )
=> (2n+1)2 chia hết cho 1132 = 12769 (2)
Từ (1) và (2) => 113 chia hết cho 12769 ( Vô lí )
Vậy n2 + 11n + 2 không chia hết cho 12769 với mọi số nguyên n.
Cách 3: Bài làm của bạn Nguyễn Thị Thùy Dương:
Giả sử n2 + 11n + 2 chia hết cho 1132 thì tồn tại số nguyên m để n2 + 11n + 2 = 1132.m (m chẵn) hay phương trình \(n^2+11n-113^2.m+2=0\)có nghiệm nguyên.
Tuy nhiên \(\Delta=11^2-4\left(2-113^2.m\right)=4.113^2.m+113=113\left(4.113.m+1\right)\) không thể là số chính phương.
Khi đó \(n=\frac{-11+\sqrt{\Delta}}{2};n=\frac{-11-\sqrt{\Delta}}{2}\) không thể là các số nguyên.
Vậy n2 + 11n + 2 không chia hết cho 1132 với mọi số nguyên n.
