Sử dụng phương pháp đồng dư thức:
Tìm n\(\in\)|N để 32n + 3n + 1 chia hết cho 13.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2022
Lời giải:
$n^3+3n^2+5n=n(n^2+3n+5)$
Cho $n=1$ thì $n^3+3n^2+5n=9\vdots 3$
Cho $n=2$ thì $n^3+3n^2+5n=30\vdots 3$....
Giả sử điều trên đúng với $n=k$. Tức là $k^3+3k^2+5k\vdots 3$
Ta cần cm đúng với $n=k+1$, tức là $(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)\vdots 3$
Thật vậy:
$(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5+3(k+1)^2$
$=(k^3+3k^2+5k)+3(k+2)+3(k+1)^2\vdots 3$ do $k^3+3k^2+5k\vdots 3; 3(k+2)\vdots 3; 3(k+1)^2\vdots 3$
Vậy ta có đpcm.
KK
5
20 tháng 10 2015
25 = 32 = 1 (mod 31)
=> (25)400 = 1400 = 1 (mod 31)
=> 22000 = 1 (mod 31)
=> 22000.22 = 22 (mod 31)
=> 22002 = 4 (mod 31)
=> 22002 - 4 = 0 (mod 31)
Vậy...
HU
1
6 tháng 1 2018
a/ \(3n+1⋮11-2n\)
Mà \(-2n+11⋮11-2n\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6n+2⋮11-2n\\-6n+33⋮11-2n\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow35⋮11-2n\)
\(\Leftrightarrow11-2n\inƯ\left(35\right)\)
Tự xét tiếp!
b/ \(n^2+3⋮n-1\)
Mà \(n-1⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n^2+3⋮n-1\\n^2-n⋮n-1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow n+3⋮n-1\)
Mà \(n-1⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow4⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) Ta có các trường hợp :
+) n - 1 = 1 => n = 2
+) n - 1 = 2 => n = 3
+) n = 1 = 4 => n = 5
Vậy ...
xét các th
th1)n=3k (k thuộc N)
=>3^2n+3^n+1=3^2.3k+3^3k+1
=531441^k+27^k+1
do 531441 đồng dư với 1 (mod 13)=>531441^k đồng dư với 1(mod 13)
27 đồng dư với 1 (mod13)=>27^k đồng dư với 1(mod13)
1 đồng dư với 1(mod 13)
=>531441^k+27^k+1 đồng dư với 1+1+1=3(mod13)
=>531441^k+27^k+1 chia 13 dư 3<=>3^2n+36n+1 chia 13 dư 3
th2)n=3k+1(k thuộc N)
=>3^2n+3^n+1=3^2.(3k+1)+3^3k+1+1
=9^3k+1 +27^k.3+1
=729^k.9 +27^k.3+1
729^k.9 đồng dư với 9(mod 13)
27^k.3 đồng dư với 2 (mod 13)
1 đồng dư với 1 (mod13)
=>729^k.9+27^k.3+1 đồng dư vơi 1+9+2=13=0(mod 13)
=>3^2n+3^n1 chia hết cho 13
th3)n=3k+2
=>=9^3k+2 +3^3k+2 +1=729^k.81+27^k.9+1
729^k.81 đồng dư với 3 (mod 13)
27k.9 đồng dư với 9(mod 13)
1 đồng dư với 1(mod 13)
=>729^k.81+27^k.9+1 đồng dư với 3+9+1=13(mod 13)
=>3^2n +3^n+1 chia hết cho 13
vậy với n =3k+1 hoặc 3k+2 (k thuộc N) thì 3^2n +3^n +1 chia hết cho 13
Xét n=3k, k\(\in\)|N
32n + 3n + 1 = 36k + 33k +1
= 33.2k + 33k +1
=(33)2k + 33k +1
=272k + 27k +1
27 đồng dư với 1 (mod 13)
=> 27k đồng dư với 1k (mod 13)
=>272k đồng dư với 12k (mod 13)
=>272k + 27k +1 đồng dư với 3 (mod 13)
=> 3k ko chia hết cho 13.
Xét n=3k+1, k\(\in\)|N
32n + 3n + 1= 36k+1 + 33k+1 +1
= (32)3k.3 + 33k . 3 +1
= 9.272k.3+27k.3+1
đồng dư với 13 (mod 13)
=> 9.272k.3+27k.3+1 chia hết cho 13.
=>3k+1 chia hết cho 13
Xét 3k+2, k\(\in\)|N
32n + 3n + 1=36k+2 + 33k+2 +1
=81k.9+27k.9+1
đồng dư với 91 (mod 13)
=>32n + 3n + 1 chia hết cho 13
=> 3k+2 chia hết cho 13.
Vậy n=3k+1 hoặc 3k+2 chia hết cho 13.