Question

[Tuấn]

CÂU HỎI CUỐI NGÀY
Cho 90 số tự nhiên liên tiếp được tô bởi 2 màu đỏ và xanh(trong đó 45 số tô đỏ và 4 5soos tô xanh )
chứng minh tồn tại 30 sô liên tiếp sao cho 15 số đc tô xanh và 15 số đc tô đỏ 

Answer 1

[Mr Lazy]

Đây là cách làm của tôi (ko chắc chắn đúng)

Sửa màu đỏ và xanh thành trắng và đen, 90 số tự nhiên liên tiếp đổi thành 90 vị trí liên tiếp có STT 1 --> 90 cho đơn giản hơn.

Quy định: \(\hept{\begin{cases}1\text{ ô trắng }=0\\1\text{ ô đen }=1\end{cases}}\) ,

Gọi \(s\left[x\right]\)là tổng 30 giá trị gán cho số liên tiếp, bắt đầu từ x \(\left(1\le x\le71\right)\)

Ví dụ \(s\left[11\right]=10\)có nghĩa là trong 30 vị trí từ 11 --> 40, có 10 ô đen, và còn lại 20 ô trắng

Ta xét một vị trí \(s\left[x\right]\) bất kì

Các trường hợp khi thay đổi 1 vị trí: 4 trường hợp

+TH1: thay 0 --> 0 thì s[x+1] = s[x]
+TH2: thay 0 --> 1 thì s[x+1] = s[x] + 1
+TH3: thay 1 --> 1 thì s[x+1] = s[x]
+TH4: thay 1 --> 0 thì s[x+1] = s[x] - 1

Vậy s[x] chỉ tăng / giảm tối đa 1 đơn vị

Xét một vị trí \(s\left[x\right]\) bất kì

+TH1: \(s\left[x\right]\le14\)

=> đen < trắng

. Nếu \(s\left[x\pm a\right]\le14\) thì đen luôn < trắng => tổng đen < tổng trắng --> loại vị tổng đen = tổng trắng = 45.

.Do đó tồn tại \(s\left[a\right]\)sao cho \(s\left[a\right]>14\)
Vì \(s\left[x+1\right]\)chỉ tăng tối đa 1 đơn vị sao với \(s\left[x\right]\)nên để tồn tại \(s\left[a\right]>14\) thì phải tồn tại một số \(s\left[m\right]=15\)

=> thỏa đề

+TH2: \(s\left[x\right]\ge14\), tương tự trường hợp 1, ta cũng sẽ có ngay 1 số \(s\left[m\right]=15\)

+TH3: \(s\left[x\right]=15\) thì thỏa đề.

Vậy luôn tồn tại 30 vị trí liên tiếp có 15 đen và 15 trắng.

Answer 2

[Tuấn]

ý tưởng bác giống e thế @ mà e gọi là -1 vs 1 :v