CM a/c = b/d biết (a+b+c+d).(a-b-c+d)=(a-b+c-d).(a+b-c-d)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DN
0
LH
0
BD
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 8 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\)
Lại có:
\((a+b+c+d)^2=[(a+c)+(b+d)]^2=(a+c)^2+(b+d)^2+2(a+c)(b+d)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\((a+c)^2+(b+d)^2\geq 4ac+4bd\)
\(\Rightarrow (a+b+c+d)^2\geq 4ac+4bd+2(ab+bc+cd+da)\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\geq \frac{2(ab+bc+cd+da+2ac+2bd)}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}=2\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d>0\)
NN
1
24 tháng 10 2017
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}a^b=b^c\\a\ge b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow b\le c\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}b^c=c^d\\b\le c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow c\ge d\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}c^d=d^{\text{e}}\\c\ge d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow d\le e\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}d^e=e^a\\d\le e\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow e\ge a\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}e^a=a^b\\e\ge a\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a\le b\) (Trái với giả sử)
Nên xảy ra khi \(a=b \Rightarrow a=b=c=d=e\)
21 tháng 1 2016
từ cái biết cộng 1 vào mỗi vế dấu bằng
ta có (a+b+c+d)/(b+c+d) = (a+b+c+d)/(c+d+a)=(a+b+c+d)/(a+b+d)=(a+b+c+d)/(a+b+c)
vi a+b+c+d khác 0 nên ta có thể chia mỗi vế cho a+b+c+d
<=>b+c+d=c+d+a=a+b+d=a+b+c
<=>a=b= d=c
thay vào A = 1+1+1+1=4
\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)(1)
Giả sử các tỷ lệ thức có nghĩa:
(1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b+c+d}{a-b+c-d}=\frac{a+b-c-d}{a-b-c+d}=\frac{2\left(a+b\right)}{2\left(a-b\right)}=\frac{2\left(c+d\right)}{2\left(c-d\right)}.\)(Cộng tử và mẫu) ; (Trừ tử và mẫu)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{2a}{2c}=\frac{2b}{2d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)đpcm
vì (a + b + c + d ).( a - b - c + d) = ( a - b + c - d). ( a + b - c - d )
=> \(\frac{a+b+c+d}{a-b+c-d}=\frac{a+b-c-d}{a-b-c+d}=\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}.\)
từ\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}.\) suy ra : \(\frac{a+b}{a-b}+1=\frac{c+d}{c-d}+1\Rightarrow\frac{2a}{a-b}=\frac{2c}{c-d}\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}.\)
=> a.( c - d ) = c . ( a - b ) = > ad = bc => \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}.\)( đpcm)