Cho tam giacs ABC, các đường trung tuyến AM,BN,CP cắt nhau tại G, trên tia đối của tia MG lấy điểm Q sao cho MQ=MG. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG và BQ
a,Chứng minh độ dài các cạnh của tam giác BGQ bằng 2/3 độ dài các đường trung tuyến ứngvới tam giác ABC
b,Chứng minh BM<1/2(BG+BQ)
c,Chứng minh độ dài các cạnh của tam giác BGQ bằng 1/2 độ dài các đường trung tuyến ứngvới tam giác ABC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tam giác ABC có: G là giao điểm của trung tuyến AM và BN (gt)
=> G là trọng tâm tam giác ABC
=>GM = 1/2 GA (đ/lí 3 trung tuyến của tam giác) (1)
Có GM = MK (gt)
Mà GM + MK = GK
=> GM = MK = 1/2 GK (2)
Từ (1)(2) => GA = GK
b, Xét tam giác BMK và tam giác CMG
BM = CM (gt)
góc BMK = góc CMG (đối đỉnh)
MK = MG (gt)
=> tam giác BMK = tam giác CMG (c.g.c)
c, Xét tam giác ABM và tam giác QCM
MA = QM (gt)
góc AMB = góc QMC ( đối đỉnh)
MB = MC (gt)
=> tam giác ABM = tam giác QCM(c.g.c)
=> góc BAQ = góc CQA ( cặp góc tương ứng)
=> AB // QC ( vì góc BAQ và góc CQA là 2 góc so le trong (3)
Xét tam giác BAN và tam giác ICN
BN = NI (gt)
góc BNA = góc INC (đối đỉnh)
AN = CN (gt)
=> tam giác BAN = tam giác ICN (c.g.c)
=> góc BAN = góc ICN (cặp góc tương ứng)
=> AB // CI (vì góc BAN và góc ICN là 2 góc so le trong) (4)
Từ (3)(4) => Q, C, I thẳng hàng
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xet ΔBMG và ΔCME có
MB=MC
góc BMG=góc CME
MG=ME
=>ΔBMG=ΔCME
b: Xet tứ giác BGCE co
M là trung điểm chung của BC và GE
=>BGCE là hình bình hành
=>BG//CE
c: Xét ΔABE co
AI,BG là trung tuyến
AI cắt BG tại F
=>F là trọng tâm
=>E,F,N thẳng hàng
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tham khảo:
a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :
\(\widehat {GMB} = \widehat {EMC}\)(2 góc đối đỉnh)
GM = ME (do G đối xứng E qua M)
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \Delta BGM = \Delta CEM(c - g - c)\)
\( \Rightarrow \widehat {GBM} = \widehat {MCE}\)(2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE
b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE
Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE
Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE
\(\, \Rightarrow AF = \dfrac{2}{3}AI\)(định lí về trọng tâm tam giác)
Mà AI = AF + FI \( \Rightarrow \) FI = AI – AF
\( \Rightarrow FI = AI - \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{1}{3}AI\)
\( \Rightarrow 2FI = AF = \dfrac{2}{3}AI\)
\( \Rightarrow \) AF = 2 FI
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xet tam giac ABC ta có
G la trong tâm (gt)
->BG la dương trung tuyến
mà BG cắt AC tai N (gt)
nên BN là đường trung tuyến
--> N la trung điểm AC
Xét tam giac ANG và tam giac NCD ta có
ND=NG (gt) ; goc ANG=goc CND (đối đỉnh) ; AN=NC ( N là trung điểm AC)
--< tam giac ANG=tam giac CND (c-g-c)
--> AG=CD ( 2 cạnh tương ứng)
ta có : G là trọng tâm tam giac ABC (gt)
-> AG=\(\frac{2}{3}AM\)-> \(\frac{AG}{2}=\frac{AM}{3}=\frac{AM-AG}{3-2}=\frac{MG}{1}\)
--> AG=2MG
ma AG -=CD 9cmt)
nên CD=2MG
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Xét tam giác ABC có G là trọng tâm
=> \(PG=\frac{1}{3}PC\) ( t/c trọng tâm tam giác )
Xét tam giác ABG có GP và AF là các trung tuyến
Mà GP cắt AF tại I nên I là trọng tâm
=> \(PI=\frac{1}{3}PG=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}PC=\frac{1}{9}PC\) ( đpcm )