Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh: BC = a, AC = b, AB = c, chu vi tam giác là 2P. Chứng minh:
\(\frac{P}{P-a}+\frac{P}{P-b}+\frac{P}{P-c}\ge9\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=p\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{9p}{3p-\left(a+b+c\right)}\)
\(VT\ge\frac{9p}{3p-2p}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay tam giác đều
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trước khi giải mình đã chụp lại ảnh bài toán và phát hiện bạn đổi đề. Bạn không được làm như thế, bạn đã khiển các bạn khác tưởng mình sai đề đó huhu
Đặt a = b = c . Từ đề bài:
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}=\frac{1}{p-\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-b}=\frac{1}{p-\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-c}=\frac{1}{p-\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-\left(b+c\right)}+\frac{1}{p-\left(c+a\right)}+\frac{1}{p-\left(a+b\right)}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a^2}+\frac{1}{p-b^2}+\frac{1}{p-c^2}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (vì a = b =c nên (b +c) ta đổi thành a2, các cái còn lại tương tự)
Suy ra \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c
P/s: Mình không chắc! Sai thì thôi nha! Đừng chọn sai nhé
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a.) từ các tia phân giác suy ra được OE/OB=AE/AB=EC/BC
suy ra AE/c=EC/a
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
AE/c=EC/a=AE+EC/c+a=AC/c+a=b/c+a
suy ra AE=bc/c+a
tương tự ta có AF=bc/a+b
ta có OB/OE=AB/AE=c/AE
suy ra OB/OE+OB=c/AE+c (ko bik bạn học cái này chưa)
OB/BE=c/AE+c(1)
tương tự ta lại có OC/CF=b/AF+b(2)
từ (1) và (2) suy ra OB.OC/BE.CF=bc/(AE+c)(AF+b)=1/2
nhân chéo ta có 2bc=(AE+c)(AF+b)=(bc/(c+a)+c)(bc/(a+b)+b)
2bc=(c(a+b+c)/(a+c))(b(a+b+c)/(a+b))
2bc=bc(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)
2=(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)
suy ra (a+b+c)^2=2(a+c)(a+b)
tách ra rút gọn còn a^2=b^2+c^2
suy ra tam giác ABC vuông tại A
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT-VP=\frac{\Sigma_{cyc}\left(a-b+c\right)\left(a-b\right)^2}{abc}\ge0\) ( do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác )
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
a<b+ca<b+c
--> a+a<a+b+ca+a<a+b+c
--> 2a<22a<2
--> a<1a<1
Tương tự ta có : b<1,c<1b<1,c<1
Suy ra: (1−a)(1−b)(1−c)>0(1−a)(1−b)(1−c)>0
⇔ (1–b–a+ab)(1–c)>0(1–b–a+ab)(1–c)>0
⇔ 1–c–b+bc–a+ac+ab–abc>01–c–b+bc–a+ac+ab–abc>0
⇔ 1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc
Nên abc<−1+ab+bc+caabc<−1+ab+bc+ca
⇔ 2abc<−2+2ab+2bc+2ca2abc<−2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2
⇔ a2+b2+c2+2abc<22−2a2+b2+c2+2abc<22−2 , (do a+b=c=2a+b=c=2 )
⇔ dpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do mình chưa học lớp 9, nên không thể giải bài của bạn. Mình có tìm trên mạng và đã tìm được lời giải này cho bạn. Thực mình không hiểu đâu, mong bạn thông cảm.
Nguồn : http://diendantoanhoc.net/topic/81625-sinfraca2leq-fraca2sqrtbc/
Mình sử dụng công thức \(S=\frac{AB.AC.Sin_A}{2}.\).
Vẽ tia phân giác AD của góc A.Đặt \(l=AD\)
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)
\(=\frac{cl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}+\frac{bl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}\)
\(=\frac{l.Sin_{\frac{A}{2}}\left(b+c\right)}{2}\)
Mặt khác \(S_{ABC}\le\frac{al}{2}\)
\(\Leftrightarrow Sin_{\frac{A}{2}}\le\frac{a}{b+c}\left(\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\right)\) :)
\(\cfrac{P}{P-a}=\cfrac{2P}{2P-2a}=\cfrac{2P}{a+b+b-2a}=\cfrac{2P}{-a+b+c}\)
Chứng minh tương tự => \(\cfrac{P}{P-b}=\cfrac{2P}{a-b+c} \); \(\cfrac{P}{P-c}=\cfrac{2P}{a+b-c}\)
=>VT=\(\cfrac{2P}{-a+b+c}+\cfrac{2P}{a-b+c}+\cfrac{2P}{a+b-c} \geq 2P\cfrac{(1+1+1)^2}{a+b +c}=9\)(Áp dụng bđt \(\cfrac{a^2}{x}+\cfrac{b^2}{y}+\cfrac{c^c}{z}\geq\cfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\))