Trong mặt phẳng, cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm A 1 , A 2 , . . . , A 10 và trên tia Oy lấy 10 điểm B 1 , B 2 , . . . . , B 10 thỏa mãn O A 1 = A 1 A 2 = . . . = A 9 A 10 = O B 1 = B 1 B 2 = . . . . = B 9 B 10 = 1 (đvd). Chọn ra ngẫu nhiên một tam giác có đỉnh nằm trong 20 điểm A 1 , A 2 , . . . . , A 10 , B 1 , B 2 , . . . , B 10 . Xác suất để tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy là
A . 1 228
B . 2 225
C . 1 225
D . 1 114
Chọn B
· Bổ đề: Trong mặt phẳng cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm A 1 , A 2 , . . . , A 10 và trên tia Oy lấy 10 điểm B 1 , B 2 , . . . . , B 10 thỏa mãn O A 1 = A 1 A 2 = . . . = A 9 A 10 = O B 1 = B 1 B 2 = . . . . = B 9 B 10 = 1 (đvd).
Tìm số tam giác có 2 đỉnh nằm trong 10 điểm
1 đỉnh nằm trong 10 điểm
B
1
,
B
2
,
.
.
.
.
,
B
10
sao cho tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp, tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy?
Giải: Gọi
là 3 đỉnh của tam giác thỏa yêu cầu bài toán với ![](http://cdn.hoc24.vn/bk/x4oZCagHqNgM.png)
Ta có![](http://cdn.hoc24.vn/bk/3kTwFanQIPfx.png)
Do đường tròn luôn cắt Ox tại
phân biệt nên đường tròn chỉ có thể tiếp xúc với Oy tại
B
p
ta có phương tích
Do
nên dễ thấy ![](http://cdn.hoc24.vn/bk/gZDn5dGJyR00.png)
hay nói cách khác bộ ba (m,n,p)![](http://cdn.hoc24.vn/bk/BWCdJXnHCfyx.png)
Vậy có 4 tam giác thỏa mãn yêu cầu bổ đề.
· Bài toán: Không gian mẫu![](http://cdn.hoc24.vn/bk/RWSGXB14lAeM.png)
Gọi A là biến cố chọn được tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy. Theo bổ đề ta chọn được 4 tam giác có 2 đỉnh thuộc tia Ox, 1 đỉnh thuộc tia Oy; tương tự có 4 tam giác có 1 đỉnh thuộc tia Oy, đỉnh thuộc tia . Suy ra, n(A) = 8
Xác suất biến cố A là![](http://cdn.hoc24.vn/bk/YOq7phImr5CL.png)