Question

[kaito kid 1412]

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B,C) . Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E lần lượt cắt AB và AC tại M và N. CMR : 

1. DM=EN

2. Đường thẳng BC cắt MN tại I là trung điểm của MN và BC<MN

3. Đường vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC.

Tớ sex tick cho.

Answer 1

[Nhật Hạ]

1, Vì △ABC cân tại A => AB = AC và ^ABC = ^ACB

Mà ^ACB = ^ECN (2 góc đối đỉnh)

=> ^ABC = ^ECN

Xét △DBM vuông tại D và △ECN vuông tại E

Có: BD = EC (gt)

  ^DBM = ^ECN (cmt)

=> △DBM = △ECN (cgv-gnk)

=> DM = EN (2 cạnh tương ứng)

2, Vì MD ⊥ BC (gt) ; NE ⊥ BC (gt)

=> MD // NE (từ vuông góc đến song song)

Xét △DMI vuông tại D và △ENI vuông tại E

Có: DM = EN (cmt)

    ^DMI = ^ENI (MD // NE)

=> △DMI = △ENI (cgv-gnk)

=> IM = IN (2 cạnh tương ứng)

Và I nằm giữa M, N

=> I là trung điểm MN

Xét △DMI vuông tại D => MI > DI (quan hệ cạnh huyền và cạnh góc vuông)

Xét △IEN vuông tại E => IN > IE (quan hệ cạnh huyền và cạnh góc vuông)   => IN > IC + CE   => IN > IC + BD   (CE = BD)

Ta có: MI + IN > DI + IC + BD    => MN > BC (đpcm)

3, Gọi AH là đường cao của △ABC

Gọi O là giao điểm của đường cao AH và đường vuông góc với MN tại I

Xét △ABH và △ACH cùng vuông tại H

Có: AH là cạnh chung

      AB = AC (cmt)

=> △ABH = △ACH (ch-cgv)

=> ^BAH = ^CAH (2 góc tương ứng)

Xét △ABO và △ACO

Có: AB = AC 

  ^BAO = ^CAO (cmt)

    AO là cạnh chung

=> △ABO = △ACO (c.g.c)

=> ^ABO = ^ACO (2 góc tương ứng) và OB = OC (2 cạnh tương ứng)

Xét △MIO vuông tại I và △NIO vuông tại I

Có: OI là cạnh chung

       IM = IN (cmt)

=> △MIO = △NIO (cgv)

=> OM = ON (2 cạnh tương ứng)

Vì △MDB = △NEC (cmt) => MB = NC (2 cạnh tương ứng)

Xét △MBO và △NCO

Có: MB = NC (cmt)

       OB = OC (cmt)

       OM = ON (cmt)

=> △MBO = △NCO (c.c.c)

=> ^MBO = ^NCO (2 góc tương ứng)

Mà ^ABO = ^ACO (cmt)

=> ^ACO = ^NCO 

Mà ^ACO + ^NCO = 180^o (2 góc kề bù)

=> ^ACO : ^NCO = 180^o : 2 = 90^o  

=> AC ⊥ OC

Ta thấy A, H, C cố định => O cố định (Là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AC tại C và AH)

Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thuộc BC.