cho cac so a b thoa man a+b=1
chung minh \(a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 3 2016
bài này chứng minh bài toán phụ, khá là phức tạp, trình bày ra chắc chết quá
29 tháng 3 2016
bài này mình thấy tren mạng đăng lên đó, có kết quả nhưng ko copy được
D
0
ML
15 tháng 4 2016
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Cô si:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+b}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.\frac{\left(a+b\right)}{8}.\frac{\left(b+c\right)}{8}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự với 2 cục còn lại, công theo vế:
\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{4}\text{ }\left(dpcm\right)\)
DV
0
MN
1
UK
4 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Ta có: \(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab\)
\(=1-3ab+ab=1-2ab=1-2\left(1-b\right)b\)
\(=1-2b+2b^2=2\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)
\(=2\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b \(=\frac{1}{2}\)