Question

[Nguyễn Thị Bích Thảo]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của AB,AC,BC. Gọi P,Q,R theo thứ tự là trung điểm của HA,HB,HC

a, chứng minh tứ giác MNRQ là hình chữ nhật 

b, chứng minh tứ giác MPRI là hình chữ nhật 

c,Gọi O là trung điểm của MR chứng minh 6 điểm Q,M,P,N,R,I thuộc đường tròn O

d,chứng minh 3 điểm D,E,F cũng thuộc đường tròn O

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

a) Chứng minh MNRQ là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường trung bình:

+)  \(\Delta\)ABC => MN //= \(\frac{1}{2}\)  BC

+)   \(\Delta\)HBC => QR  //= \(\frac{1}{2}\)  BC (1)

=> MN//= QR 

=> MNQR là hình bình hành (2)

Xét \(\Delta\) ACH có NR là đường trung bình => NR //AH => NR //AD  (3)

Từ (1) ; ( 3) và AD vuông góc BC

=> NR vuông góc  RQ (4)

Từ (2) ; (4) => MNQR là hình chữ nhật

b) MPRI là hình bình hành

Áp dụng tính chất đường trung bình

+)    \(\Delta\)ABC => MI //= \(\frac{1}{2}\)  AC

+)   \(\Delta\)AHC => PR //= \(\frac{1}{2}\)  AC

=> MI //= PR

=> MPRI là hình bình hành

Tương tự câu a cũng chứng minh đc MP vuông PR

=> MPRI là hình chữ nhật

b) MNRQ là hình chữ nhật

có O là trung điểm MR 

=> OM =ON =OR = OQ

MPRI là hình chữ nhật

=> OM = OP = OR = OI

=> OM =ON =OR = OQ = OP = OI

=>  Q: M; P; N; N ; R; I thuộc đường tròn tâm O

c) Xét các  \(\Delta\)NEQ ; \(\Delta\) R FM ; \(\Delta\)PDI lần lượt vuông tại E; F; D tương ứng vs các cạnh huyền NQ; RM; PI

Các cạnh huyền đều có trung điểm là O ( câu b )

=> ON = OE = OQ

     OR = OF= OM

    OP= OD = OI

=> D; E; F thuộc đường tròn O.