Question

[Thanh Tùng Nguyễn]

cho a,b,c>0

tìm min  \(P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

Lời giải :

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+2b+c=x\\a+b+2c=y\\a+b+3c=z\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-x+5y-3z\\b=x-2y+z\\c=z-y\end{cases}}\)

Thay vào P ta được :

\(P=\frac{-x+5y-3z+3z-3y}{x}+\frac{4x-8y+4z}{y}+\frac{-8z+8y}{z}\)

\(P=-1+\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y}-8+\frac{4z}{y}-8+\frac{8y}{z}\)

\(P=-17+\left(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si :

\(P\ge-17+2\sqrt{\frac{2y\cdot4x}{x\cdot y}}+2\sqrt{\frac{4z\cdot8y}{x\cdot z}}\)

\(=-17+2\sqrt{8}+2\sqrt{32}\)

\(=-17+12\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}\\\frac{4z}{y}=\frac{8y}{z}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2=y^2\\z^2=2y^2\end{cases}}\)

Thay a,b,c vào tìm ra dấu "=" nhé. Khá dài và phức tạp đấy.

Answer 2

[Trần Thanh Phương]

Ai ti-ck sai ra đây nói chuyện nào ?