Question

[Nguyen Thi Trinh]

cho phương trình:

\(m\left(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}+2\right)=2\sqrt{1-x^4}+\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}-1\)

a. Tìm m để phương trình có nghiệm

b. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt \(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}=a\)

\(a^2=2-2\sqrt{1-x^4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le\sqrt{2}\\2\sqrt{1-x^4}=2-a^2\end{matrix}\right.\)

Phương trình trở thành:

\(m\left(a+2\right)=2-a^2+a-1\)\(\Leftrightarrow m=\frac{-a^2+a-1}{a+2}\)

Xét \(f\left(a\right)=\frac{-a^2+a-1}{a+2}\Rightarrow f'\left(a\right)=\frac{\left(-2a+1\right)\left(a+2\right)+a^2-a+1}{\left(a+2\right)^2}=\frac{-a^2-4a+3}{\left(a+2\right)^2}\)

\(f'\left(a\right)=0\Rightarrow a=-2+\sqrt{7}\)

\(f\left(0\right)=-\frac{1}{2};f\left(\sqrt{2}\right)=\frac{-8+5\sqrt{2}}{2};f\left(-2+\sqrt{7}\right)=5-2\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow\) Để pt có nghiệm thì \(-\frac{1}{2}\le m\le5-2\sqrt{7}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

b/ Xét hàm \(f\left(x\right)=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}\)

\(f'\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=x\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[0;1\right]\) và nghịch biến trên \(\left[-1;0\right]\)

\(f\left(0\right)=0;f\left(1\right)=f\left(-1\right)=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow a=0\) thì \(y=a\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 1 điểm duy nhất (tiếp xúc)

\(0< a\le\sqrt{2}\) thì \(y=a\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 2 điểm phân biệt

\(\Rightarrow\) Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì \(y=m\) cắt \(y=f\left(a\right)\) tại 2 điểm phân biệt

Dựa vào BBT của câu a ta được: \(\frac{-8+2\sqrt{5}}{2}\le m< 5-2\sqrt{7}\)