Cho phương trình \(x^2+mx+n=0\) (m,n là tham số). Tìm m và n, biết rằng phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x=5\\x^3_1-x_2^3=35\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Delta=m^2+12>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Khi \(n=0\) thì pt có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1^2-x_2^2=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=3\end{matrix}\right.\)
Thế vào hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}4+3=-m\\4.3=n-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-7\\n=15\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để pt cho có 2 nghiệm thì \(\Delta=m^2-4n\ge0\Leftrightarrow m^2\ge4n\) (*)
Theo Vi - et ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n\end{matrix}\right.\)
Ta khai thác dữ kiện : \(x_1^3-x_2^3=7\)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=7\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_1x_2+x_2^2=7\) (1)
\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+3x_1x_2=7\)
\(\Rightarrow3n=7-1=6\Rightarrow n=2\)
Ta lại có từ (1) suy ra :
\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=7\)
\(\Rightarrow m^2=7+x_1x_2=7+n=7+2=9\)
\(\Rightarrow m=\pm3\)
Thử lại ta thấy các giá trị đều thỏa mãn (*)
Vậy \(\left(m,n\right)=\left(-3,2\right);\left(3,2\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Delta=a^2-4\left(b+2\right)>0\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b+2\end{matrix}\right.\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=28\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\64+12x_1x_2=28\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=3\\x_2=-1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=-3\end{matrix}\right.\)
Thế vào (1) để tìm a; b
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m^3-\left(m+1\right)^2=m^3-4m\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\-2\le m\le0\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m^3+\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1+x_2\le4\Rightarrow m-1\le2\Rightarrow m\le3\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2\le m\le3\\-2\le m\le0\end{matrix}\right.\)
\(P=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+8x_1x_2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^3+8x_1x_2\)
\(=8\left(m-1\right)^3+8\left[-m^3+\left(m+1\right)^2\right]\)
\(=8\left(5m-2m^2\right)\)
\(P=8\left(5m-2m^2-2+2\right)=16-8\left(m-2\right)\left(2m-1\right)\le16\)
\(P_{max}=16\) khi \(m=2\)
\(P=8\left(5m-2m^2+18-18\right)=8\left(9-2m\right)\left(m+2\right)-144\ge-144\)
\(P_{min}=-144\) khi \(m=-2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb
b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)
Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)
Bạn ơi, mình có thể hỏi câu c được không ạ? Nếu không được thì không sao, mình cảm ơn câu trả lời của bạn ạ ^-^ chúc bạn một ngày tốt lành nhé.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Trước tiên để pt có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta>0$
$\Leftrightarrow a^2-4(b+1)>0(*)$
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-a\\ x_1x_2=b+1\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(\left\{\begin{matrix} x_1-x_2=3\\ x_1^3-x_2^3=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1-x_2=3\\ x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1-x_2)^2=9\\ x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9\\ (x_1+x_2)^2-x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-4(b+1)=9\\ a^2-(b+1)=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow -3(b+1)=9-3=6\Rightarrow b=-3\)
Thay vào: $a^2=3+b+1=1\Rightarrow a=\pm 1$ (thỏa mãn $(*)$)
Vậy $(a,b)=(\pm 1;-3)$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, bạn tự làm
b, Thay x = 3 vào pt trên ta được
\(9-3m-3=0\Leftrightarrow6-3m=0\Leftrightarrow m=2\)
Thay m = 2 vào ta được \(x^2-2x-3=0\)
Ta có a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0
vậy pt có 2 nghiệm x = -1 ; x = 3
c, \(\Delta=m^2-4\left(-3\right)=m^2+12>0\)
vậy pt luôn có 2 nghiệm pb
\(x_1x_2+5\left(x_1+x_2\right)-1997=0\)
\(\Rightarrow-3+5m-1997=0\Leftrightarrow5m-2000=0\Leftrightarrow m=400\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, - Thay m = 6 vào phương trình ta được : \(x^2-5x+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, - Xét phương trình trên có : \(\Delta=b^2-4ac=25-4m\)
- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt <=> \(m< \dfrac{25}{4}\)
- Theo viet ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
- Ta có : \(\left|x_1-x_2\right|=3\)
\(\Leftrightarrow x^2_1+x^2_2-2\left|x_1x_2\right|=\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1x_2+\left|x_1x_2\right|\right)=9\)
\(\Leftrightarrow m+\left|m\right|=8\)
\(\Leftrightarrow2m=8\)
\(\Leftrightarrow m=4\)
Vậy ...
Nguyễn Trương Nguyễn Việt Lâm Truong Viet Truong Nguyen Ánh Lê DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG Khôi Bùi
Điều kiện thứ nhất là \(x_1-x_2=5?????\)
\(x_1^3-x_2^3=35\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(\left(x_1-x_2\right)^2+3x_1x_2\right)=35\)
\(\Leftrightarrow5\left(25+3x_1x_2\right)=35\Rightarrow x_1x_2=-6\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=5\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=5+x_2\\x_1x_2+6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_2\left(5+x_2\right)+6=0\)
\(\Rightarrow x^2_2+5x_2+6=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-3\\x_1=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=-2\\x_1=3\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4+2m+n=0\\9-3m+n=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=-6\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=3\\x_2=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9+3m+n=0\\4-2m+n=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\n=-6\end{matrix}\right.\)