Chứng minh:
a) Nếu a < b thì \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)
b) Nếu \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\) thì a < b
( nếu các bạn có cách khác trong sách bài tập thì giúp mik nha!!!)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LM
26 tháng 5 2018
a) Vì a,b không âm nên căn có nghĩa.
Ta có: \(\sqrt{a}\) = \(a^2\) ; \(\sqrt{b}\) = \(b^2\)
Vì a < b nên \(a^2\) < \(b^2\)
=> \(\sqrt{a}\) < \(\sqrt{b}\) (dpcm)
b) Vì a, b không âm nên căn có nghĩa.
Ta có: \(\sqrt{a}\) < \(\sqrt{b}\) => \(\left(\sqrt{a}\right)^2\) < \(\left(\sqrt{b}\right)^2\) => a < b (dpcm)
11 tháng 9 2016
a/ \(a< b\Leftrightarrow a-b< 0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)
Mà \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\)
b/ \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)
Vì a,b là các số dương , do đó nhân cả hai vế của bđt trên với \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) được :
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\Leftrightarrow a-b< 0\Leftrightarrow a< b\)
8 tháng 9 2016
a) Có: a<b
=> \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\) (vì a,b là các số dương)
b) \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2< \left(\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a< b\)
27 tháng 9 2021
Dấu "=" không xảy ra
\(ĐK:a,b,c>0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\\\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{abc}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\\\sqrt{abc}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)=4\\\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=2\Rightarrow a=2-b-c\)
\(b+c\ge4abc\)
\(\Leftrightarrow b+c-4abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow b+c-4\left(2-b-c\right)bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-4bc+4bc^2\right)+\left(c-4bc+4cb^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-2c\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}-2b\sqrt{c}\right)^2\ge0\)
Mà do \(a,b,c>0\) nên dấu bằng không xảy ra
\(\Rightarrow b+c>4abc\)
27 tháng 8 2015
Nếu a<b thì a-b<0 ,suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)0\)với mọi a khác b nên suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)
17 tháng 7 2018
Ta có: \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2=a+2\sqrt{ac}+c=2b+2\sqrt{ac}\)(1)
Lại có: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\)
\(=\frac{\left(2\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)(Nhân cả tử & mẫu với \(\sqrt{a}+\sqrt{c}\))
\(=\frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)(2)
Thế (1) và (2) => \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)\(=\frac{2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2b+\sqrt{ca}}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)(đpcm).
B
31 tháng 7 2019
\(a,\)Vì \(a< b\Rightarrow a-b< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)
Mà \(a,b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\left(đpcm\right)\)
\(b,\)Ta có:\(a\ge0;b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
Vì\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)(1)
Nhân hai vế của (1) với \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).Mà theo cmt thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)nên khi nhân vào thì dấu của BPT (1) không đổi chiều
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)
\(\Leftrightarrow a-b< 0\)
\(\Rightarrow a< 0\left(đpcm\right)\)
a. Phải bổ sung điều kiện a và b không âm nữa thì mới chứng minh được.
Đặt a = n2 => n = \(\sqrt{a}\)
Đặt b = m2 => m = \(\sqrt{b}\)
mà a < b
=> n2 < m2
=> \(\frac{n^2}{n}< \frac{m^2}{m}\)
=> n < m
=> \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)
b. Nếu \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)
=> \(\sqrt{a}.\sqrt{a}< \sqrt{b}.\sqrt{b}\)
=> a < b