Cho a,b,c > 0 và: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt{2}\). Tìm Min
\(S=\sqrt[3]{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt[3]{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt[3]{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 6 2021
Áp dụng bđt cosi schwart ta có:
`VT>=(a+b+c)^2/(a+b+c+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})`
Dễ thấy `sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}<a+b+c`
`=>VT>=(a+b+c)^2/(2(a+b+c))=(a+b+c)/2=3`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1.`
17 tháng 11 2021
\(S=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(1+4^2\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\left(1\right)\)\(\left(bunhia\right)\)
\(tương-tự\Rightarrow\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\left(2\right)\)
\(\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}+b+\dfrac{4}{c}+c+\dfrac{4}{a}\right)\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[16a+\dfrac{4}{a}+16b+\dfrac{4}{b}+16c+\dfrac{4}{c}-15\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[2\sqrt{16a.\dfrac{4}{a}}+2\sqrt{16b.\dfrac{4}{b}}+2\sqrt{16c.\dfrac{4}{c}}-15.\dfrac{3}{2}\right]\left(am-gm\right)\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(16+16+16-\dfrac{45}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
\(\Rightarrow MinS=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
\(\left(a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}\right)\left(1+3+5\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{3^2}{b}+\dfrac{5^2}{c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{\left(1+3+5\right)^2}{a+b+c}}=\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{\sqrt{a+b+c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27^2\left(a+b+c\right)}{2^3\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{1}{6}.9=15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;3;5\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2021
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^4;y^4;z^4\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)
\(VT=\dfrac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}+\dfrac{1}{y^2+z^2+z^2+1+2}+\dfrac{1}{z^2+x^2+x^2+1+2}\)
\(VT\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 1 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)
Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:
$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$
$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)
\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)
\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 1 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)
Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:
$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$
$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)
\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)
\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$
19 tháng 4 2023
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{2ab-ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{bc}};\sqrt{\dfrac{1}{c^2-ac+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)
=>P<=1/a+1/b+1/c=3
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1