K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 1 2018

Đặt T là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ.

Đặt \(12n^2+1=\left(2k-1\right)^2,\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow12n^2+1=4k^2-4k+1\)

\(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\)

\(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\)

\(\Leftrightarrow k\left(k-1\right)⋮3\Rightarrow k⋮3;k-1⋮3\)

+) Nếu \(k⋮3\Rightarrow n^2=\left(\dfrac{k}{3}\right).\left(k-1\right)\). Mà \(\left(\dfrac{k}{3};k-1\right)=1\)nên đặt \(\dfrac{k}{3}=x^2\Rightarrow k=3x^2\)

Đặt \(k-1=y^2\Rightarrow k=y^2+1\)

\(\Rightarrow3x^2=y^2+1\equiv2\left(mod3\right)\)

Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1.

+) Nếu \(k-1⋮3\)

\(\Rightarrow n^2=\dfrac{k.\left(k-1\right)}{3}\)\(\left(k;\dfrac{\left(k-1\right)}{3}\right)=1\)nên đặt k = z2\(\dfrac{\left(k-1\right)}{3}=t^2\)

\(\Rightarrow T=...=2+2\left(2k-1\right)=4k=4z^2=\left(2z^2\right)\)là 1 số chính phương

=> ĐPCM

7 tháng 2 2017

Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)

Để M là số nguyên thì 12n2 + 1  là số chính phương lẻ 
Đặt 12n2 + 1 = (2k -1)2   (k \(\in\) N)

<=> 12n2 + 1 = 4k- 4k +1

<=> 12n2 = 4k2 - 4k 

<=> 3n2 = k(k - 1)

=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3

TH1 : k ⋮ 3 => n=(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1)     Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x2 => k = 3x2

  và đặt k - 1 = y=> k = y2 +1

  => 3x= y2 + 1 = 2 ( mod 3)

  Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1

TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :

  => n2 = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\)     Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z2 

=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương 

 => M là một số chính phương ( đpcm )

28 tháng 4 2017

\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)

\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)

\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)

TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)

Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)

Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)

Ta có đpcm

TH2(tương tự):\(k=3q+1\)

13 tháng 6 2021

Bài này là đề tuyển sinh vào 10 của hà nội năm 2012 nếu mình không nhớ nhầm.

Bạn tìm trên mạng nhé.

13 tháng 6 2021

Không thấy bạn ơi

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018

Lời giải:

Để \(2+2\sqrt{12n^2+1}\in\mathbb{Z}\) thì \(12n^2+1\). phải là số chính phương lẻ.

Đặt \(12n^2+1=(2a+1)^2(a\in\mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow 12n^2=4a^2+4a\Leftrightarrow 3n^2=a(a+1)\)

\(a(a+1)=3n^2\vdots 3\) nên xét các TH sau:

TH1: \(a\vdots 3\). Đặt \(a=3k\)

Ta có: \(3n^2=a(a+1)=3k(3k+1)\)

\(\Leftrightarrow n^2=k(3k+1)\)

Dễ thấy $(k,3k+1)=1$ nên để tích của chúng là scp thì bản thân mỗi số đó là scp \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k+1=v^2\end{matrix}\right.\) \((u,v\in\mathbb{Z})\)

\(\Rightarrow 2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2(2a+1)=4a+4=4.3k+4\)

\(=4(v^2-1)+4=(2v)^2\) là số chính phương (đpcm)

TH2: \(a+1\vdots 3\). Đặt \(a+1=3k\)

\(\Rightarrow n^2=(3k-1)k\). Dễ thấy $(3k-1,k)=1$ nên \(\left\{\begin{matrix} k=u^2\\ 3k-1=v^2\end{matrix}\right.(u,v\in\mathbb{Z})\)

\(\Rightarrow 3u^2-1=v^2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv 2\pmod 3\) (vô lý- loại)

Vậy..........