Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với công bội q.
a) Biết \(u_1=2;u_6=486\). Tìm q ?
b) Biết \(q=\dfrac{2}{3};u_4=\dfrac{8}{21}\). Tìm \(u_1\) ?
c) Biết \(u_1=3;q=-2\). Hỏi 192 là số hạng thứ mấy ?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)
b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)
a) Ta có:
\(q.{S_n} = q.\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = {u_1}.q + {u_2}.q + ... + {u_n}.q = \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}\)
b) Ta có:
\({u_1} + q.{S_n} = {u_1} + \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = {S_n} + {u_1}.{q^n}\)
1. Gọi công bội của csn đó là $q$ thì:
$u_6=q^4u_2$
$\Leftrightarrow 32=q^4.2\Leftrightarrow q^4=16$
$\Leftrightarrow q=\pm 2$
2.
$u_{2019}=q^{2018}u_1=2.3^{2018}$
a) Ta có:
- Số hạng thứ nhất: \({u_1}\)
- Số hạng thứ hai: \({u_2} = {u_1}.q\)
- Số hạng thứ ba: \({u_3} = {u_2}.q = \left( {{u_1}.q} \right).q = {u_1}.{q^2}\)
- Số hạng thứ tư: \({u_4} = {u_3}.q = \left( {{u_1}.{q^2}} \right).q = {u_1}.{q^3}\)
- Số hạng thứ năm: \({u_5} = {u_4}.q = \left( {{u_1}.{q^3}} \right).q = {u_1}.{q^4}\)
b) Dự đoán công thức tính: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)
a) Ta có:
\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)
\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)
b) Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)
a) \({u_2} = {u_1}.q\)
\({u_3} = {u_2}.q = {u_1}.{q^2}\)
\({u_4} = {u_3}.q = {u_1}.{q^3}\)
\({u_5} = {u_4}.q = {u_1}.{q^4}\)
b) Từ a suy ra: \({u_n} = {u_1} \times {q^{n - 1}}\).
a) Ta có: \({u_3} = {u_1}.{q^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{{27}}{4}} \right) = 3.{q^2} \Leftrightarrow q = \frac{3}{2}\)
Năm số hạng đầu của cấp số nhân: \(3;\frac{9}{2};\frac{{27}}{4};\frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}\)
b) Tổng 10 số hạng đầu:
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{3.\frac{{ - 58025}}{{1024}}}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{ - 174075}}{{1024}}.\left( { - 2} \right) = \frac{{174075}}{{512}}\)
Ta có:
\(u_2=u_1.q\\ u_3=u_2.q=\left(u_1.q\right).q=u_1.q^2\\ u_4=u_3.q=\left(u_1.q^2\right).q=u_1.q^3.\\ .\\ .\\ .\\ u_{10}=u_1.q^9\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_1-2q+u_1+4q=65\\u_1+u_1+6q=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2q=65\\2u1+6q=325\end{matrix}\right.\)
=>u1=-130; q=195/2
`u_n = u_1 + (n-1).d`
`{(u_1-u_3+u_5=65),(u_1+u_7=325):}`
`<=>{(u_1-u_1-2d+u_1+4d=65),(u_1+u_1+6d=325):}`
`<=>{(u_1+2d=65),(2u_1+6d=325):}`
`<=>{(u_1=-130),(u_2=195/2):}`
a) \({u_2} = {u_1}.q\)
\({u_3} = {u_1}.{q^2}\)
…
\({u_{n - 1}} = {u_1}.{q^{n - 2}}\)
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)
\({S_n} = {u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}\)
b) \(q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n}\)
c) \({S_n} - q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}} \right) - (q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n})\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_n} = {u_1} - {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\end{array}\)
Trong bài này ta áp dụng công thức tinh số hạng tổng quát un = u1.qn-1, biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:
a) q = 3.
b) u1 =![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B80%7D%20%5Cfrac%7B9%7D%7B7%7D)
c) Theo đề bài ta có un = 192, từ đó ta tìm được n. Đáp số: n =7
a)
\(\dfrac{u_6}{u_1}=q^5=\dfrac{486}{2}=243=3^5\) . Suy ra: \(q=3\).
b)
\(u_4=u_1q^3=u_1.\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{21}\)\(\Rightarrow u_1=\dfrac{9}{7}\).
c) \(u_n=3.\left(-2\right)^{n-1}=192\)\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^{n-1}=64=\left(-2\right)^6\)\(\Leftrightarrow n-1=6\)\(\Leftrightarrow n=7\).
Vậy số hạng thứ 7 bằng 192.