Cho n là một số nguyên dương . Chứng minh rằng 11n+1 + 122n-1 chia hết cho 133
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
NC
1 tháng 1 2016
có biết đâu mà giúp, mong bạn thông cảm cho. Nhớ tick cho mình với
15 tháng 7 2016
a) Với n=1 thì \(7^{^{ }3}+8^3\) chia hết cho \(7^2-56+8^2nên\) chia hết cho 19
Giả sử \(7^{k+2}+8^{k+2}\) chia hết cho 19 (k >_ 1)
Xét \(7^{k=3}+8^{2k+3}=7.7^{k+2}+64.8^{2k+1}=7.\left(7^{k+2}+8^{2k+1}\right)+57.8^{2k+1}\) chia hết cho 19
HT
7
12 tháng 11 2016
Đặt n = 2k , ta có ( đk k >= 1 do n là một số chẵn lớn hơn 4)
\(\left(2k\right)^4-4\times\left(2k\right)^3-4\times\left(2k\right)^2+16\times2k\)
\(=16k^4-32k^3-16k^2+32k\)
\(=16k^2\left(k^2-1\right)-32k\left(k^2-1\right)\)
\(=16k\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)-32\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)
Nhận xét \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên
\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) chia hết cho 3
Suy ra điều cần chứng minh
23 tháng 11 2016
câu 1:
a, giả sử 2 số chẵn liên tiếp là 2k và (2k+2) ta có:
2k(2k+2) = 4k2+4k = 4k(k+1) chia hết cho 8 vì 4k chia hết cho 4, k(k+1) chia hết cho 2
b, giả sử 3 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2 với mọi a thuộc Z
- a,a+1,a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại duy nhất một số chẵn hoặc có 2 số chẵn nên tích của chúng sẽ chia hết cho 2.
mặt khác vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3.
vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
c, giả sử 5 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2, a+3,a+4 với mọi a thuộc Z
- vì là 5 số nguyên liên tiếp nên sẽ tồn tại 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý a tích của chúng choa hết cho 8.
- tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
- tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
câu 2:
a, a3 + 11a = a[(a2 - 1)+12] = (a - 1)a(a+1) + 12a
- (a - 1)a(a+1) chia hết cho 6 ( theo ý b câu 1)
- 12a chia hết cho 6.
vậy a3 + 11a chia hết cho 6.
b, ta có a3 - a = a(a2 - 1) = (a-1)a(a+1) chia hết cho 3 (1)
mn(m2-n2) = m3n - mn3 = m3n - mn + mn - mn3 = n( m3 - m) - m(n3 -n)
theo (1) mn(m2-n2) chia hết cho 3.
c, ta có: a(a+1)(2a+10 = a(a+1)(a -1+ a +2) = [a(a+1)(a - 1) + a(a+1)(a+2)] chia hết cho 6.( théo ý b bài 1)
P
1
20 tháng 8 2016
Ta có:
n3 + 11n
= n3 - n + 12n
= n.(n2 - 1) + 12n
= n.(n - 1).(n + 1) + 12n
= (n - 1).n.(n + 1) + 12n
Vì (n - 1).n.(n + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => tích này chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1 => (n - 1).n.(n + 1) chia hết cho 6; 12n chia hết cho 6
=> n3 + 11n chia hết cho 6 ( đpcm)
Ta sẽ chứng minh : 11n+1 + 122n-1 (1) với mọi n \(\inℕ^∗\)bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 , ta có : 11n+1 + 122n-1 = 112 + 12 = 133
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k \(\inℕ^∗\), ta sẽ Chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1
Ta có :
11(k+1) + 1 + 122(k+1) - 1 = 11.(11k+1 + 122k-1) + 122k-1.(122 - 11)
= 11 . (11k+1 + 122k-1) + 133 . 122k -1 (2)
Mà 11k+1 + 122k-1 \(⋮\)133 nên từ (2) ta suy ra được : 11(k+1)+1 + 122(k+1) - 1 \(⋮\)133
Hay (1) đúng với n = k + 1
Từ các chứng minh trên => (1) đúng với mọi n \(\inℕ^∗\)
\(11^{n+1}+12^{2n-1}=11^n\cdot11+12\cdot12^{2n-2}=11^n\cdot11+12\cdot144^{n-1}\)
\(11^n\cdot11+\left(133-121\right)\cdot144^{n-1}=133\cdot144^{n-1}-121\cdot144^{n-1}+11^n\cdot11\)
\(=133\cdot144^{n-1}-144^{n-1}\cdot121+11^{n-1}\cdot121\)
\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144^{n-1}-11^{n-1}\right)\)
\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144-11\right)\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)
\(=133\cdot144^{n-1}-121\cdot133\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)
\(=133\left(144^{n-1}-121\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\right)⋮133\)
\(\Rightarrow11^{n+1}+12^{2n-1}⋮133\)(đpcm)