Question

[๖ۣۜBá ๖ۣۜVươηɠ]

a) Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab . ac .7

b) Cho A = \(\frac{1}{2}\left(7^{2012^{2015}}-3^{92^{94}}\right)\). Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.

Answer 1

[Duc Loi]

a) Theo bài ra, ta có:

        \(\overline{abbc}=\overline{ab}.\overline{ac}.7\)

\(\Rightarrow\overline{ab}.100+\overline{bc}=\overline{ab}.\overline{ac}.7\)

\(\Rightarrow100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=\overline{ac}.7\)

Ta thấy : \(\frac{10}{90}\le\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le\frac{91}{10}\)

\(\Rightarrow100+\frac{10}{90}\le100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le100+\frac{91}{10}\)

\(\Rightarrow\frac{901}{9}\le100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}\le\frac{1091}{10}.\)

Ta thấy: \(\overline{ac}\in N\Rightarrow\overline{ac}.7\in N\)

Mà \(\overline{ac}.7⋮7\Rightarrow\overline{ac}.7=105\)

\(\Rightarrow\overline{ac}=105:7=15\Rightarrow a=1;c=5\)

\(\Rightarrow100+\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=105\Rightarrow\frac{\overline{bc}}{\overline{ab}}=105-100=5\)

\(\Rightarrow\overline{bc}=5.\overline{ab}\Rightarrow b.10+c=50.a+5b\)

\(\Rightarrow5b+5=50\Rightarrow5b=50-5=45\)

\(\Rightarrow b=45:5=9.\)

                                  Vậy \(a=1;b=9;c=5.\)

b) Theo bài ra, ta có:

     \(A=\frac{1}{2}\left(7^{2012^{2015}}-3^{92^{94}}\right)\)

 Vì \(7>3;2012>92;2015>94\Rightarrow7^{2012^{2015}}>3^{92^{94}}\)      

\(\Rightarrow7^{2012^{2015}}-3^{92^{94}}\)là một số tự nhiên.

     \(2012\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow2012^{2015}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow2012^{2015}=4m\left(m\in N\right)\)

\(\Rightarrow7^{2012^{2015}}=7^{4m}=\left(7^4\right)^m=\overline{...1}^m=\overline{...1}.\)

          \(92\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow92^{94}\equiv0\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow92^{94}=4n\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow3^{92^{94}}=3^{4n}=\left(3^4\right)^n=\overline{...1}^n=\overline{...1}.\)

Thay vào, ta được :

      \(A=\frac{1}{2}\left(\overline{...1}-\overline{...1}\right)\)

 \(\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(\overline{...0}\right)\)

\(\overline{...0}\)là một số tự nhiên chia hết cho 10 \(\Rightarrow\)nó chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(A\)là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 

\(\Rightarrow A⋮5.\)

Vậy A là một số tự nhiên chia hết cho 5.

\(\)