Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. Chứng minh :
a) cotan B + cotan C lớn hơn hoặc bằng 2/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 8 2015
Chứng minh: (bài toán phụ): tam giác ABC có BC = a; AC - b; AB = c. Chứng minh: b2 = a2 + c2 - 2ac. cosB
kẻ đường cao AH .
Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông AHC có: b2 = AH2 + CH2 = AH2 + (BC - BH)2 = (AH2 + BH2 ) + BC2 - 2.BH.BC
=> b2 = AB2 + BC2 - 2.AB. cosB . BC = c2 + a2 - 2ca. cosB
17 tháng 8 2015
a)
Gọi G là giao của BM và CN
Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông GBC có: GB2 + GC2 = BC2 = a2 (*)
Áp dụng kết quả bài toán phụ ( chứng minh trên) trong tam giác BMC ta có:
BM2 = BC2 + CM2 - 2.CM . BC. cos C
Thay CM = b/2 ; cos C = \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) ta được BM2 = a2 + \(\frac{b^2}{4}\) - 2.\(\frac{b}{2}\). a. \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) = ...= \(\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\)
Áp dụng tương tự, trong tam giác CNB có: CN2 = \(\frac{2b^2+2a^2-c^2}{4}\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GB = \(\frac{2}{3}\) BM ; GC = \(\frac{2}{3}\) CN
=> GB2 = \(\frac{4}{9}\)BM2 = \(\frac{4}{9}\).\(\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\)
GC2 = \(\frac{4}{9}.\frac{2b^2+2a^2-c^2}{4}\)
Thay vào (*) ta được : \(a^2=\frac{4\left(2a^2+2c^2-b^2\right)}{36}+\frac{4\left(2b^2+2a^2-c^2\right)}{36}\)
=> 36a2 = 16a2 + 4c2 + 4b2
=> 5a2 = b2 + c2 => a2 = (b2 + c2)/5
19 tháng 8 2016
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh: a/ sin2007B+cosB<\(\frac{5}{4}\)
b/ sin2007+cos2008<1
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
24 tháng 8 2021
Do G là trọng tâm tam giác nên ta có :
\(\hept{\begin{cases}CG=\frac{2}{3}CN\\BG=\frac{2}{3}BM\end{cases}}\Rightarrow CG>BG\Rightarrow\widehat{GBC}>\widehat{GCB}\)
16 tháng 10 2021
Kẻ đg cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G
Tg AHD vuông tại H nên \(AH\le AD\Rightarrow\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(4\right)\)
Ta có \(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(1\right)\)
Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng vs ch BC
\(\Rightarrow BC=2GD\left(2\right)\)
Mà G là trọng tâm nên \(3GD=AD\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\ge\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2GD}{3GD}=\dfrac{2}{3}\)
